Hàm số liên tục là gì? Cách chứng minh hàm số liên tục

Xin chào tất cả các bạn !

Trong định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm, chúng ta không hề giả thiết hàm số xác định tại điểm đó.

Nếu hàm số xác định tại đó thì giới hạn và giá trị của hàm số tại điểm đó cũng không nhất thiết phải bằng nhau.

Tuy nhiên, với các hàm số thường gặp trong Toán học như hàm đa thức (bậc nhất, bậc hai, bậc ba, …); hàm phân thức; hàm số lượng giác ($\sin, \cos, \tan, \cot$) giới hạn và giá trị của hàm số tại mỗi điểm mà nó xác định là bằng nhau.

Các hàm số có tính chất vừa trình bày có một vai trò và vị trí quan trọng trong Giải tích nói riêng và trong Toán học nói chúng.

Các nhà Toán học gọi chúng là các hàm số liên tục..

#1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Giả sử hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $(a ; b)$ và $x_0 \in(a ; b)$

Lúc này, hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu tồn tại $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$

Hàm số không liên tục tại điểm $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm $x_0$

#2. Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Giả sử hàm số $f(x)$ xác định trên tập hợp $J$ (biết $J$ là một khoảng hoặc là hợp của nhiều khoảng).

Lúc này chúng ta nói hàm số $f(x)$ liên tục trên $J$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.

Hàm số $f(x)$ xác định trên đoạn $[a ; b]$ được gọi là liên tục trên đoạn $[a ; b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a ; b)$ và có $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a)$, $\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)$

Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng $[a; b)$ hoặc $(a; b]$ hoặc $[a;+\infty)$ hoặc $(-\infty; b]$ được định nghĩa tương tự như tính liên tục của hàm số trên một đoạn.

#3. Một số nhận xét và định lý có liên quan đến hàm số liên tục

Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó riêng trong truờng hợp thương giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác $0$

Hàm số đa thức (bậc nhất, bậc hai, bậc ba, …) liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$

Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\tan x$, $y=\cot x$ là những hàm số liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

#4. Giá trị trung gian của hàm số liên tục

4.1. Định lý

Giả sử hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$

Nếu $f(a) \neq f(b)$ thì với mỗi số thực $M$ nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$ luôn luôn tồn tại ít nhất một điểm $c \in(a; b)$ sao cho $f(c)=M$

4.2. Ý nghĩa hình học của định lý

Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $M$ là một số thực nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$ thì đường thẳng $y=M$ cắt đồ thị của hàm số $y=f(x)$ ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in(a ; b)$

4.3. Hệ quả của định lý

Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$ và $f(a) f(b)<0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in(a; b)$ sao cho $f(c)=0$

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

4.4. Ý nghĩa hình học của hệ quả

Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a)f(b)<0$ thì đồ thị của hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in(a ; b)$

#5. Bài tập chứng minh tính liên tục của hàm số

Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\sqrt{-2x^2+3x+5}$ trên đoạn $\left[-1, \frac{5}{2}\right]$

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[-1, \frac{5}{2}\right]$

Với mọi $x_0 \in \left[-1, \frac{5}{2}\right]$ chúng ta có $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{-2x^2+3x+5}=\sqrt{-2x_0^2+3x_0+5}=f\left(x_0\right)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $\left(-1, \frac{5}{2}\right)$

Ngoài ra chúng ta còn có:

$\lim _{x \rightarrow(-1)^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow(-1)^{+}} \sqrt{-2x^2+3x+5}=0=f(-1)$

$\lim _{x \rightarrow \frac{5}{2}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \frac{5}{2}^{-}} \sqrt{-2x^2+3x+5}=0=f(\frac{5}{2})$

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn $\left[-1, \frac{5}{2}\right]$

#6. Lời kết

Okay, như vậy là qua bài viết này thì mình tin là bạn đã biết cách chứng minh hàm số liên tục rồi đúng không?

Các nội dung vừa được trình bày ngoài việc giúp chúng ta chứng minh được hàm số liên tục trên tại một điểm mà còn giúp chúng ta:

• Chứng minh được hàm số liên tục trên một khoảng, nửa khoảng và đoạn.
• Tìm giá trị gần đúng của nghiệm phương trình….

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn