Cách giải phương trình bậc hai đối với Sin x và Cos x

Tiếp nối mạch kiến thức về phương trình lượng giác, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách giải phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác $\sin x$ và $\cos x$

Trước khi tìm hiểu cách giải phương trình lượng giác này thì bạn hãy đảm bảo rằng, bạn có thể:

• Nhớ được công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.
• Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

#1. Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x có dạng

Phương trình lượng giác có dạng $a \sin ^2 x+b \sin x \cos x+c \cos ^2 x=d$ với $a, b, c$ và $d$ là những số thực cho trước và $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ hoặc $c \neq 0$ được gọi là phương trình bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$

$4 \sin ^2 x-5 \sin x \cos x-6 \cos ^2 x=0$, $2 \sin ^2 x-5 \sin x \cos x-\cos ^2 x=-2$ là những phương trình bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$

#2. Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

Sau đây là hai phương pháp giải phương trình $a \sin ^2 x+b \sin x \cos x+c \cos ^2 x=d$ thường được sử dụng

Phương pháp 1. Đưa về phương trình bậc hai đối với hàm số $\tan x$ hoặc $\cot x$

Bước 1. Nếu $\cos x \neq 0$ chia hai vế của phương trình cho $\cos ^2 x$ để đưa về phương trình bậc hai đối với $\tan x$

Nếu $\sin x \neq 0$ chia hai vế của phương trình cho $\sin ^2 x$ để đưa về phương trình bậc hai đối với $\cot x$

Bước 2. Giải phương trình bậc hai đối với hàm số $\tan x$ hoặc $\cot x$

Phương pháp 2. Đưa về phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Bước 1. Vì $\sin^2x+cos^2x=1$ nên chúng ta có thể nhân $\sin^2x+cos^2x=1$ vào vế phải

$a \sin ^2 x+b \sin x \cos x+c \cos ^2 x=d(\sin^2x+\cos^2x)$

$(a-d) \sin ^2 x+b \sin x \cos x+(c-d) \cos ^2 x=0$

Đặt $a-d=a’$ và $c-d=c’$ chúng ta được phương trình

$a’ \sin ^2 x+b \sin x \cos x+c’ \cos ^2 x=0$ $(*)$

Bước 2. Vì $2 \sin ^2 x=1-\cos 2 x$, $2 \cos ^2 x=1+\cos 2 x$, $2 \sin x \cos x=\sin 2 x$ nên phương trình $(*)$ trở thành $a’ (1-\cos 2 x)+\frac{b}{2} \sin 2 x+c’ (1+\cos 2 x)=0$

$(-a’+c’)\cos2x+\frac{b}{2}\sin2x+(a’+c’)=0$ $(**)$

Dễ thấy $(**)$ là phương trình bậc nhất đối với $\sin 2x$ và $\cos 2x$ nên có thể giải được khá dễ dàng.

#3. Cách giải phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

Giải phương trình $4 \sin ^2 x-5 \sin x \cos x-6 \cos ^2 x=0$

Lời giải:

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

Nếu $\cos x=0$ thì phương trình đã cho trở thành $4 \sin ^2 x=0 \Leftrightarrow x= k\pi$

Suy ra các giá trị của $x$ mà $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Chia hai vế của phương trình đã cho cho $\cos ^2 x$ chúng ta được phương trình $4 \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}-5 \frac{\sin x}{\cos x}-6=0$ hay $4 \tan ^2 x-5 \tan x-6=0$ $(*)$

Đặt $t=\tan x$ phương trình $(*)$ trở thành $4t^2-5t-6=0$

Dễ thấy phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $t=2$ hoặc $t=-\frac{3}{4}$

Với $t=2$ chúng ta được phương trình $\tan x=2 \Leftrightarrow x=\arctan 2+k \pi$

Với $t=-\frac{3}{4}$ chúng ta được phương trình $\tan x=-\frac{3}{4} \Leftrightarrow x=\arctan \left(-\frac{3}{4}\right)+k \pi$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\arctan 2+k \pi$ và $x=\arctan \left(-\frac{3}{4}\right)+k \pi$

#4. Bài tập tự luyện

Giải phương trình $2 \sin ^2 x-5 \sin x \cos x-\cos ^2 x=-2$

Cách 1. Sử dụng công thức $1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$

Nếu $\cos x=0$ thì phương trình đã cho trở thành $2\sin^2x=-2$ (vô nghiệm).

Suy ra các giá trị của $x$ mà $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Chia hai vế của phương trình đã cho cho $\cos ^2 x$ chúng ta được $2 \tan ^2 x-5 \tan x-1=-\frac{2}{\cos ^2 x}$

Vì $1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$ nên $2 \tan ^2 x-5 \tan x-1=-2\left(1+\tan ^2 x\right)$ hay $4 \tan ^2 x-5 \tan x+1=0$ $(*)$

$(*)$ là phương trình bậc hai đối với hàm số $\tan x$ nên giải được dễ dàng

Cách 2. Sử dụng công thức $\sin^2x+\cos^2x=1$

Vì $\sin^2x+\cos^2x=1$ nên phương trình đã cho trở thành $2 \sin ^2 x-5 \sin x \cos x-\cos ^2 x=-2\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)$ hay $\sin ^2 x-5 \sin x \cos x+\cos ^2 x=0$

Nếu $\cos x=0$ thì phương trình đã cho trở thành $4\sin^2x=0 \Leftrightarrow x=k\pi$

Suy ra các giá trị của $x$ mà $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho

Chia hai vế của phương trình đã cho cho $\cos ^2 x$ chúng ta được $4 \tan ^2 x-5 \tan x+1=0$ $(*)$

$(*)$ là phương trình bậc hai đối với hàm số $\tan x$ nên giải được dễ dàng

Đáp án $x=\frac{\pi}{4}+k \pi$ và $x=\arctan \frac{1}{4}+k \pi$ với $k \in \mathbb{Z}$

#5. Lời kết

Khi thực hiện giải phương trình bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$ thì các bạn cần phải lưu ý như sau:

• Chỉ được chia hai vế của phương trình cho $\cos^2 x$ hoặc $\sin^2 x$ khi $\cos x=0$ hoặc $\sin x=0$ không là nghiệm của phương trình.
• Nếu có thể thì nên ưu tiên chia cho $\cos^2 x$ (khi chia cho $\sin^2 x$ sẽ dẫn đến phương trình bậc hai đối với $\cot x$ mà $\cot x$ khó thao tác trên máy tính cầm tay).
• Phương pháp đưa về phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$ mang tính chất tham khảo.

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn