Cách tính giá trị lượng giác của một cung hoặc của một góc

Xin chào tất cả các bạn !

Trong bài viết này các bạn sẽ được cung cấp các khái niệm về góc lượng giác, cung lượng giác, hệ thức Sác lơ, và giá trị lượng giác của cung (góc), …

Các kiến thức này sẽ là nền tảng quan trọng giúp bạn dễ dàng tiếp cận hơn với các khái niệm về các hàm số lượng giác. Vận nên các bạn chú ý nhé !

#1. Đơn vị rađian và độ

$1^r=\left(\frac{180}{\pi}\right)^o$

$1^o=\left(\frac{\pi}{180}\right)^r$

Công thức liên hệ giữa số đo $\alpha$ rađian của góc $a$ độ là $\alpha=\frac{a\pi}{180}$

cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (1)

Bảng chuyển đổi một số góc đặc biệt thường gặp trong quá trình học tập, kiểm tra và thi cử.

Độ $30^o$ $45^o$ $60^o$ $90^o$ $120^o$ $135^o$ $150^o$ $180^o$
Rađian $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$

#2. Góc lượng giác

Cho tia $Om$ quay quanh gốc O

Nếu tia $Om$ xuất phát từ vị trí của tia $Ou$ và dừng lại ở vị trí của tia $Ov$

Lúc này, chúng ta nói $Om$ đã quay một góc lượng giác có tia đầu $Ou$ và tia cuối $Ov$ và thường được ký hiệu là $(Ou, Ov)$

Có vô số góc lượng giác có tia đầu $Ou$ và tia cuối $Ov$

Nếu có một góc $(Ou, Ov)$ có số đo $a^o$ hoặc $\alpha^r$ thì mọi góc lượng giác tia đầu $Ou$ và tia cuối $Ov$ có số đo dạng $a^o+k360$ hoặc $\alpha^r+k2\pi$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ.

cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (2)

#3. Cung lượng giác

Cho một đường tròn định hướng tâm $O$

Khi các tia $Ou, Ov$ của góc lượng giác $(Ou, Ov)$ cắt đường tròn định hướng tại các điểm tương ứng $U, V$ thì chúng ta có cung lượng giác cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (3)

Lúc này điểm $U$ được gọi là điểm đầu và điểm $V$ được gọi là điểm cuối.

cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (4)

#4. Hệ thức Sác lơ

Với ba tia $Ou, Ov, Ow$ tùy ý chúng ta luôn có công thức sđ$(Ou, Ov)+$sđ$(Ov, Ow)=$sđ$(Ou, Ow)+k2\pi$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ.

#5. Giá trị lượng giác của cung (góc)

Trên đường tròn lượng giác với hệ trục tọa độ trực chuẩn $Oxy$ cho cung lượng giác cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (5) có số đo $\alpha$ và tọa độ điểm $M$ là $(x, y)$

cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (6)

Lúc này chúng ta có …

  • $\sin \alpha=y$
  • $\cos \alpha=x$
  • Nếu $x$ khác $0$ thì $\tan \alpha=\frac{y}{x}$
  • Nếu $y$ khác $0$ thì $\cot \alpha=\frac{x}{y}$

Chú ý:

  • $\tan \alpha$ xác định với mọi $\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ.
  • $\cot \alpha$ xác định với mọi $\alpha \neq k\pi$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ.

5.1. Dấu của các giá trị lượng giác của cung

Dấu của các giá trị lượng giác của cung $\alpha$ phụ thuộc vào vị trí điểm cuối $M$ của cung lượng giác  có số đo $\alpha$ trên đường tròn lượng giác.

cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (7)

$M$ thuộc góc phần tư

Giá trị lượng giác của $\alpha$

I II III IV
$\cos \alpha$ $+$ $-$ $-$ $+$
$\sin \alpha$ $+$ $+$ $-$ $-$
$\tan \alpha$ $+$ $-$ $+$ $-$
$\cot \alpha$ $+$ $-$ $+$ $-$

5.2. Giá trị lượng giác của các cung (góc) lượng giác đặc biệt

Máy tính cầm tay CASIO fx 580 VN X có thể tính được giá trị lượng giác $\sin$, $\cos$, $\tan$ và $\cot$ của một cung (góc) bất kỳ.

Tuy nhiên với những cung (góc) đặc biệt chúng ta vẫn nên ghi nhớ chúng:

$\alpha$ $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$
$\sin \alpha$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
$\cos \alpha$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$
$\tan \alpha$ $0$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $1$ $\sqrt{3}$ $||$
$\cot \alpha$ $||$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $0$

#6. Các công thức lượng giác cơ bản

Dưới đây là các công thức lượng giác cơ bản nhất, chúng còn được gọi là các hằng đẳng thức lượng giác đáng nhớ:

  • $\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$
  • $\tan \alpha \cot \alpha=1$ với mọi $\alpha$ khác $\frac{k\pi}{2}$, $k$ là một số nguyên bất kỳ
  • $1+\tan^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha}$ với mọi $\alpha$ khác $\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k$ là một số nguyên bất kỳ
  • $1+\cot^2 \alpha=\frac{1}{\sin^2 \alpha}$ với mọi $\alpha$ khác $k\pi$, $k$ là một số nguyên bất kỳ
  • $\sin(\alpha+k2\pi)=\sin \alpha$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ
  • $\cos(\alpha+k2\pi)=\cos \alpha$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ
  • $-1 \leq \sin \alpha \leq 1$
  • $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$

#7. Giá trị lượng của các cung (góc) lượng giác có liên quan đặc biệt

7.1. Hai góc đối nhau

Các điểm cuối của hai cung $\alpha=$ cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (5) và $-\alpha=$ cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (8) đối xứng nhau qua trục hoành nên chúng ta có:

cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (9)

$\sin (-\alpha)=-\sin \alpha$

$\cos (-\alpha)=\cos \alpha$

$\tan (-\alpha)=-\tan \alpha$

$\cot (-\alpha)=-\cot \alpha$

7.2. Hai góc hơn kém nhau

Các điểm cuối của hai cung $\alpha$ và $(\alpha+\pi)$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$ nên chúng ta có:

cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (10)

$\sin (\alpha+\pi)=-\sin \alpha$

$\cos (\alpha+\pi)=-\cos \alpha$

$\tan (\alpha+\pi)=\tan \alpha$

$\cot (\alpha+\pi)=\cot \alpha$

7.3. Hai góc bù nhau

Các điểm cuối của hai cung $\alpha=$  và $\pi-\alpha=$  đối xứng nhau qua trục tung nên chúng ta ta có:

cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (11)

$\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha$

$\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha$

$\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha$

$\cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha$

7.4. Hai góc phụ nhau

Các điểm cuối của hai cung $\alpha$ và $\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ đối xứng nhau qua đường phân giác $d$ của góc $xOy$ nên chúng ta có:

cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (12)

$\sin (\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos \alpha$

$\cos (\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha$

$\tan (\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot \alpha$

$\cot (\frac{\pi}{2}-\alpha)=\tan \alpha$

#8. Lời kết

Vâng, như vậy là qua bài viết này thì bạn đã hiểu được khái niệm về góc lượng giác, cung lượng giác, hệ thức Sác lơ, và giá trị lượng giác của cung (góc).. rồi đúng không?

Thay cho lời kết thì mình sẽ giới thiệu đến các bạn một thủ thuật máy tính cầm tay giúp chuyển đổi nhanh số đo góc từ rađian sang độ và ngược lại.

Bước 1. Cài đặt đơn vị góc là đơn vị góc mà bạn muốn chuyển đổi:

  • Chuyển sang rađian thì cài đặt đơn vị góc là Radian
  • Chuyển sang độ thì cài đặt đơn vị góc là Degree

Nhấn lần lượt các phím cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (13) cài đặt đơn vị góc là rađian.

Nhấn lần lượt các phím cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (14) để cài đặt đơn vị góc là độ.

Bước 2. Nhập số đo góc cần chuyển đổi

Bước 3. Nhấn phím cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (15) => nhấn phím cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (16) => chọn đơn vị cho góc vừa nhập

Bước 4. Nhấn phím cach-tinh-gia-tri-luong-giac-cua-mot-cung-hoac-mot-goc (17)

Hi vọng mẹo nhỏ trong bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn

Bài viết đạt: 5/5 sao - (Có 1 lượt đánh giá)
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !

Administrator: Kiên Nguyễn

Có một câu nói của người Nhật mà mình rất thích đó là " Người khác làm được thì mình cũng làm được ". Chính vì thế mà hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn ! Nếu như bạn đang gặp khó khăn và cần sự trợ giúp thì hãy comment phía bên dưới mỗi bài viết để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng Blog Chia Sẻ Kiến Thức nhé.

Một vài lưu ý trước khi comment :

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *
Tất cả các comment của các bạn sẽ được giải đáp trong vòng 48h !
Không được sử dụng từ khóa trong ô 'Name', bạn hãy dùng tên thật hoặc Nickname của bạn !
Không dẫn link sang trang web/blog khác. Xem quy định comment tại đây. Thank All!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *