Cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Vâng, trong bài viết này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Tương tự như phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác, phương trình lượng giác này cũng là một trong những phương trình lượng giác dễ giải nhất.

#1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác có dạng

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác có dạng $a t^2+b t+c=0$, với $a, b, c$ là các hằng số $(a \neq 0)$ và $t$ là một hàm số lượng giác $\sin$ hoặc $\cos$ hoặc $\tan$ hoặc $\cot$

• $2 \sin ^2 x+3 \sin x-2=0$ là phương trình bậc hai đối với hàm $\sin x$
• $3 \cot ^2 x-5 \cot x-7=0$ là phương trình bậc hai đối với hàm $\cot x$

#2. Các bước giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Bước 1. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ.

• Nếu đặt $t=\sin x$ hoặc $t=\cos x$ thì điều kiện của $t$ là $-1 \leq t \leq 1$
• Nếu đặt $t=\tan x$ hoặc $t=\cot x$ thì không cần đặt điều kiện của $t$

Bước 2. Giải phương trình vừa thu được.

Thường chúng ta sẽ thu được phương trình bậc hai một ẩn $at^2+bt+c=0$

Bước 3. Giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Sau khi tìm được $t$ chúng ta sẽ quay về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

#3. Thực hành giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 1. Giải phương trình $2 \sin ^2 x+5 \sin x-3=0$

Lời giải:

Đặt $t=\sin x$ với điều kiện $-1 \leq t \leq 1$ phương trình đã cho trở thành  $2 t ^2 +5 t-3=0$

Dễ thấy phương trình bậc hai một ẩn $2 t ^2 +5 t-3=0$ có hai nghiệm là $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=-3$

So sánh với điều kiện chúng ta loại $t=-3$

Với $t=\frac{1}{2}$ chúng ta được phương trình lượng giác cơ bản $\sin x = \frac{1}{2}$ $(*)$

Vì $\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ nên $(*)$ tương đương với $\sin x=\sin \frac{\pi}{6} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi$ và $x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi$

Ví dụ 2. Giải phương trình $2 \cos 2 x+2 \cos x-\sqrt{2}=0$

Hướng dẫn:

Dựa vào công thức $\cos 2x = 2 \cos^2 x -1$ chúng ta có thể chuyển phương trình $2 \cos 2 x+2 \cos x-\sqrt{2}=0$ thành phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Lời giải:

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

Vì $\cos 2x = 2 \cos^2 x -1$ nên phương trình đã cho tương đương với $2\left(2 \cos ^2 x-1\right)+2 \cos x-\sqrt{2}=0$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow 4 \cos ^2 x+2 \cos x-(2+\sqrt{2})=0$

Đặt $t=\cos x$ với điều kiện $-1 \leq t \leq 1$ phương trình đã cho trở thành  $4t ^2 +2 t-(2+\sqrt{2})=0$

Dễ thấy phương trình bậc hai một ẩn $4t ^2 +2 t-(2+\sqrt{2})=0$ có hai nghiệm là $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $t=-\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

So sánh với điều kiện chúng ta loại giá trị $t=-\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Với $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ chúng ta được phương trình lượng giác cơ bản $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $(**)$

Vì $\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $(**)$ tương đương với $\cos x=\cos \frac{\pi}{4}$ $\Leftrightarrow$ $x=\pm \frac{\pi}{4}+k 2 \pi$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\pm \frac{\pi}{4}+k 2 \pi$

#4. Bài tập tự luyện

Bài tập 1. Giải phương trình $6 \cos ^2 x+5 \sin x-2=0$

Hướng dẫn và đáp án:

Vì $\cos ^2 x=1-\sin ^2 x$ nên phương trình đã cho trở thành $6 (1-\sin ^2 x)+5 \sin x-2=0$ hay $-6 \sin ^2 x+5 \sin x+4=0$

Nghiệm của phương trình đã cho là $x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi$ và $x=\frac{7 \pi}{6}+k 2 \pi$

Bài tập 2. Giải phương trình $\sqrt{3} \tan x-6 \cot x+2 \sqrt{3}-3=0$

Hướng dẫn và đáp án:

Điều kiện của phương trình đã cho là  $\cos x \neq 0$ và $\sin x \neq 0$

Vì $\cot x=\frac{1}{\tan x}$ nên phương trình đã cho trở thành $\sqrt{3} \tan x-\frac{6}{\tan x}+2 \sqrt{3}-3=0$ hay $\sqrt{3} \tan ^2 x+(2 \sqrt{3}-3) \tan x-6=0$

Nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi}{3}+k \pi$ và $x= \arctan -2+k \pi$

#5. Lời kết

Okay, trên đây là cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác mà mình muốn chia sẻ đến các bạn.

Trong quá trình giải bài tập, khá nhiều trường hợp chúng ta cần thực hiện một hoặc một vài phép biến đổi sơ cấp phù hợp mới có thể thu được phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Dưới đây là một số công thức thường được sử dụng:

• Công thức thức lượng giác cơ bản.
• Công thức cộng.
• Công thức nhân đôi.
• Công thức biến đổi tích thành tổng.
• Công thức biến đổi tổng thành tích.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

• 7 cách giải phương trình bậc hai đơn giản, hiệu quả
• 2 cách giải phương trình bậc bốn và bài tập ví dụ

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn