Cách giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác nha các bạn.

Ngoài các phương trình lượng giác cơ bản ra thì phương trình lượng giác này cũng là một trong những phương trình lượng giác dễ giải nhất.

Xem thêm:
Cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

#1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác có dạng

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác có dạng $a t+b=0$, với $a, b$ là các hằng số $(a \neq 0)$ và $t$ là một hàm số lượng giác $\sin$ hoặc $\cos$ hoặc $\tan$ hoặc $\cot$

Ví dụ.

$2\sin x-1=0$ là phương trình bậc nhất đối với hàm $\sin x$

$\sqrt{3} \tan x-1=0$ là phương trình bậc nhất đối với hàm $\tan x$

#2. Các bước giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Bước 1. Chia hai vế của phương trình $a t+b=0$ cho $a$ chúng ta sẽ đưa phương trình đã cho về phương trình lượng giác cơ bản.

Bước 2. Giải phương trình lượng giác cơ bản.

#3. Thực hành giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt{3} \tan 2 x+3=0$ $(*)$

Hướng dẫn:

Nếu $\alpha$ là một nghiệm của phương trình phương trình $\tan x=m$ có nghĩa là $\tan \alpha=m$ thì $\tan x=m \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi$

Lời giải:

$(*) \Leftrightarrow \sqrt{3} \tan 2x=-3$

$(*) \Leftrightarrow \tan 2x=-\frac{3}{\sqrt{3}}$

Vì $\tan -\frac{1}{3} \pi=-\frac{3}{\sqrt{3}}$ nên phương trình $(*)$ trở thành $\tan 2x=\tan -\frac{1}{3} \pi$ $(**)$

$(**) \Leftrightarrow 2x=-\frac{1}{3} \pi+k \pi$

$(**) \Leftrightarrow x=-\frac{1}{6} \pi+k \frac{\pi}{2}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=-\frac{1}{6} \pi+k \frac{\pi}{2}$

Mẹo tìm $\tan -\frac{1}{3} \pi=-\frac{3}{\sqrt{3}}$ một cách chính xác và nhanh chóng.

Mình sẽ thực hành trên máy tính CASIO FX 580 VN X, đối với các dòng máy tính cầm tay khác các bạn thực hiện tương tự ha.

Bước 1. Nhấn lần lượt các phím để cài đặt đơn vị góc là rađian.

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

Bước 2. Nhấn phím SHIFT => nhấn phím $\tan$ => nhập $-\frac{3}{\sqrt{3}}$

Vậy $\tan -\frac{1}{3} \pi=-\frac{3}{\sqrt{3}}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $5 \cos x-2 \sin 2 x=0$ $(*)$

Hướng dẫn:

Mặc dù phương trình $5 \cos x-2 \sin 2 x=0$ không có dạng phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác nhưng chúng ta có thể biến đổi sơ cấp để đưa nó về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Dựa vào công thức $\sin 2x=2\sin x\cos x$ chúng ta biến đổi phương trình $5 \cos x-2 \sin 2 x=0$ thành $5 \cos x-4\sin x\cos x=0$

Dễ thấy $5 \cos x-4\sin x\cos x=0 \Leftrightarrow \cos x (5-4 \sin x)=0$

Lúc bấy giờ phương trình đã cho sẽ tương đương với $\cos x=0$ hoặc $5-4 \sin x=0$

Lời giải:

$(*) \Leftrightarrow 5 \cos x-4\sin x\cos x=0$

$(*) \Leftrightarrow \cos x (5-4 \sin x)=0$

$(*) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos x=0 \\ 5-4\sin x=0 \end{array}\right.$

$(*) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ \sin x=\frac{5}{4} \end{array}\right.$

Vì $\frac{5}{4} >1$ nên phương trình $\sin x=\frac{5}{4}$ vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi}{2}+k \pi$ với $k \in Z$

Ví dụ 3. Giải phương trình $8 \sin x \cos x \cos 2 x=-1$

Hướng dẫn:

Chúng ta có công thức $2\sin x \cos x=\sin 2x$ và công thức $2\sin 2x \cos 2x=\sin 4x$

Lời giải:

$(*) \Leftrightarrow 4 \sin 2 x \cos 2 x=-1$

$(*) \Leftrightarrow 2 \sin 4 x=-1$

$(*) \Leftrightarrow \sin 4 x=-\frac{1}{2}$

$(*) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}4x =-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\  4x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi\end{array}\right.$

$(*) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{2} \\ x=\frac{7\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=-\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}$ và $x=\frac{7\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}$

#4. Lời kết

Tuy việc giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác không có gì có khăn nhưng để giải được một cách chính xác và nhanh chóng các bạn cũng nên xem lại công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và công thức $\sin 2x=2\sin x\cos x$

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

• 3 cách giải phương trình bậc ba (có ví dụ dễ hiểu)
• Cách giải phương trình lượng giác (có nhiều ví dụ)
• 3 cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
• 3 cách giải phương trình trùng phương (có ví dụ dễ hiểu)
• 2 cách giải phương trình vô tỉ (2 dạng thường gặp nhất)

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn