3 cách giải phương trình bậc ba (có ví dụ dễ hiểu)

Loài người chúng ta đã biết cách giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai từ những năm đầu của thiên niên kỉ thứ nhất.

Tuy nhiên, đối với phương trình bậc ba thì chúng ta chỉ mới tìm ra được cách giải chừng mấy trăm năm về trước.

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại cách giải phương trình bậc ba và tìm hiểu thêm về cách giải phương trình bậc 3 bằng máy tính CASIO và công cụ trực tuyến Wolfram Alpha

#1. Phương trình bậc ba là gì?

Phương trình bậc ba (Cubic Equation) có dạng $ax^3+bx^2+cx+d=0$, với $a, b, c, d$ là những số thực bất kỳ, và $a$ khác $0$

Ví dụ. $x^3-6x^2+11x–6=0, 24x^3-26x^2+9x-1=0, 2x^3+x^2+2x+16=0$ là những phương trình bậc ba

#2. Giải bằng phương pháp Toán học

Trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này thì chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách giải một số lớp phương trình bậc ba đặc biệt.

Phương pháp giải tổng quát mình sẽ không trình bày ở đây <xem lý do ở phần Lời kết bên dưới nha các bạn>

2.1. Một số kiến thức cần biết

  • Nếu $a+b+c+d=0$ thì phương trình có nghiệm là $1$
  • Nếu $a-b+c-d=0$ thì phương trình có nghiệm là $-1$
  • Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì chỉ có thể là một trong các ước của $d$
  • Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ thì $p, q$ lần lượt theo thứ tự là ước của $d$ và $a$
  • Nếu $ac^3=db^3$ thì phương trình có nghiệm là $-\frac{c}{b}$
  • Phương trình bậc ba có không quá ba nghiệm

2.2. Chú ý 1

  • Với phương trình bậc ba chỉ cần tìm được một nghiệm xem như chúng ta đã hoàn thành 75% lời giải rồi.
  • Lúc này, bạn chỉ cần chia vế trái của phương trình cho $x-x_0$ ($x_0$ là một nghiệm của phương trình) thì lập tức được một tam thức bậc hai.
  • Mà Tam thức bậc hai / phương trình bậc hai thì chúng ta có thể giải được một cách dễ dàng.

2.3. Chú ý 2

  • Có nhiều phương trình bậc ba có hệ số nguyên nhưng vẫn không có nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ.
  • Có nhiều phương trình bậc ba có hệ số nguyên nhưng vẫn có nghiệm thực.

#3. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^3-6x^2+11x–6=0$

cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (1)

Gợi ý:.
Dễ thấy, tổng các hệ số của phương trình bằng $0$, suy ra phương trình có nghiệm là $1$ (tất nhiên là còn các nghiệm khác nữa nha các bạn).

Phân tích vế trái của phương trình thành phương trình tích với thừa số thứ nhất là $(x-1)$, thừa số thứ hai là một tam thức bậc hai.

Có nhiều cách để tìm được tam thức bậc hai, nhưng cách đơn giản nhất là lấy vế trái của phương trình chia cho $(x-1)$

Lời giải:

Vì $1+(-6)+11+(-6)=0$ nên phương trình đã cho có nghiệm là $1$

$x^3-6x^2+11x–6=0$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow (x-1)(x^2-5x+6)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x-1=0 \\ x^2-5x+6=0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1 \\ \left[\begin{array}{l}x=2 \\ x=3 \end{array}\right. \end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\{1, 2, 3\}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $24x^3-26x^2+9x-1=0$

cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (2)

Gợi ý:
Dễ thấy, phương trình không có nghiệm nguyên vì khi thay các giá trị $\pm 1$ (các ước của $-1$) vào của phương trình ta thấy không thỏa.

Vì tất cả các hệ số của phương trình đều là hệ số nguyên nên chúng ta hy vọng phương trình sẽ có nghiệm hữu tỷ.

Để kiểm tra phương trình có nghiệm hữu tỉ hay không thì chúng ta sẽ thử lần lượt các giá trị $\frac{p}{q}$

Lời giải:

$\pm 1$ là các ước của $-1$

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$ là các ước của $24$

Nếu phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ thì chỉ có thể là một trong các giá trị $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{24}$

Bây giờ chúng ta sẽ lần lượt thay các giá trị được liệt kệ bên trên vào vế trái của phương trình, giá trị nào làm cho vế trái bằng $0$ thì đó chính là nghiệm.

  • $24(1)^3-26(1)^2+9(1)-1=6 \neq 0$
  • $24\left(\frac{1}{2}\right)^3-26\left(\frac{1}{2}\right)^2+9\left(\frac{1}{2}\right)-1=0$
  • $24\left(\frac{1}{3}\right)^3-26\left(\frac{1}{3}\right)^2+9\left(\frac{1}{3}\right)-1=0$
  • $24\left(\frac{1}{4}\right)^3-26\left(\frac{1}{4}\right)^2+9\left(\frac{1}{4}\right)-1=0$

Vì phương trình bậc ba có không quá ba nghiệm nên chúng ta không cần thử với các giá trị còn lại

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\left\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \right\}$

Ví dụ 3. Giải phương trình $2x^3+x^2+2x+16=0$

cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (3)

Gợi ý:

Vì $2.2^3=16.1^3$ nên phương trình có nghiệm là $-\frac{2}{1}=-2$

Lấy vế trái của phương trình chia cho $(x+2)$ ta được $2x^2-3x+8$

Lúc bấy giờ $2x^3+x^2+2x+16=0 \Leftrightarrow (x+2)( 2x^2-3x+8)=0$

Lời giải:

Vì $2.2^3=16.1^3$ thì phương trình có nghiệm là $-\frac{2}{1}=-2$

$2x^3+x^2+2x+16=0$

$\Leftrightarrow (x+2)(2x^2-3x+8)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x+2=0 \\ 2x^2-3x+8=0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-2 \\ 2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{55}{8} > 0 \end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\{-2\}$

Chú ý:
Phương trình này cũng có thể giải bằng cách tìm nghiệm nguyên.

#4. Giải phương trình bậc ba bằng máy tính CASIO

Ở đây mình sẽ giải phương trình $x^3-6x^2+11x–6=0$ bằng máy tính CASIO fx-580VN X

Bước 1. Lần lượt nhấn các phím cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (4) để chọn phương trình bậc ba

cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (5) cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (6) cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (7) cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (8)

Bước 2. Lần lượt nhấn các phím cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (9) để nhập các hệ số $1, -6,  11, -6$

cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (10)

Bước 3. Nhấn phím cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (11) để xem kết quả:

cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (12) cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (13) cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (14)

#5. Giải phương trình bậc 3 bằng công cụ trực tuyến Wolfram Alpha

Giải bằng công cụ trực tuyến Wolfram Alpha không phải là phương pháp chính thống, nó chỉ là hỗ trợ thôi nha các bạn.

Lý do quan trọng nhất là không được phép mang điện thoại thông minh, máy tính xách tay vào phòng thi, dẫn đến không thể sử dụng Wolfram Alpha trong việc kiểm tra, cũng như thi cử được.

Ở đây mình sẽ giải phương trình $24x^3-26x^2+9x-1=0$ trên máy tính thông qua trình duyệt Google Chrome.

Bước 1. Truy cập vào trang chủ của Wolfram Alpha theo địa chỉ https://www.wolframalpha.com/

Bước 2. Nhập lệnh solve 24x^3-26x^2+9x-1=0

cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (16)

Bước 3. Nhấn phím Enter trên bàn phím máy tính rồi xem kết quả.

cach-giai-phuong-trinh-bac-ba (17)

#6. Lời kết

Vậy là chúng ta đã cùng nhau điểm qua tất cả các lớp phương trình bậc ba có dạng đặc biệt rồi ha. Qua bài viết này thì mình tin là bạn đã biết cách giải phương trình bậc 3 rồi đúng không?!

Một câu hỏi được đặt ra là nếu phương trình không có gì đặc biệt thì giải như thế nào? Ở đây mình sẽ chia thành hai trường hợp:

  • Trường hợp 1 đây là một bài toán độc lập, cần trình bày lời giải một cách đầy đủ thì giải bằng phương pháp tổng quát của Gerolamo Cardano.
  • Trường hợp 2 chỉ cần tìm được nghiệm (thường gặp là dạng trắc nghiệm hoặc là một ý trong một bài toán nào đó) thì chúng ta sẽ giải bằng máy tính CASIO.

Trường hợp 1 trong thực tế khá ít gặp nên các bạn cũng không cần lo lắng và đây cũng là lý do chính mình không trình bày thuật giải tổng quát cho phương trình bậc ba trong bài viết này.

CÒN NẾU BẠN THÍCH? thì đây 🙂
Cách giải mọi phương trình bậc ba (cách tổng quát)

Hi vọng những kiến thức trong bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn

Bài viết đạt: 4.3/5 sao - (Có 3 lượt đánh giá)
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !

Administrator: Kiên Nguyễn

Có một câu nói của người Nhật mà mình rất thích đó là " Người khác làm được thì mình cũng làm được ". Chính vì thế mà hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn ! Nếu như bạn đang gặp khó khăn và cần sự trợ giúp thì hãy comment phía bên dưới mỗi bài viết để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng Blog Chia Sẻ Kiến Thức nhé.

Một vài lưu ý trước khi comment :

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *
Tất cả các comment của các bạn sẽ được giải đáp trong vòng 48h !
Không được sử dụng từ khóa trong ô 'Name', bạn hãy dùng tên thật hoặc Nickname của bạn !
Không dẫn link sang trang web/blog khác. Xem quy định comment tại đây. Thank All!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *