Hướng dẫn 4 cách xét dấu của tam thức bậc hai (có ví dụ)

Xin chào tất cả các bạn, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách xét dấu tam thức bậc hai.

Tương tự như việc xét dấu nhị thức, việc xét dấu tam thức bậc hai là việc làm rất thường gặp khi giải toán, đặc biệt là khi giải các dạng toán như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình, hệ bất phương trình, …

Và ở trong bài viết này mình sẽ trình bày với các bạn 4 cách khác nhau để thực hiện xét dấu tam thức bậc 2, tùy thuộc vào thói quen, bài toán cụ thể mà các bạn hãy cân nhắc lựa chọn sao cho phù hợp nhé.

I. Tam thức bậc hai là biểu thức như thế nào?

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a \in R^*, b \in R, c \in R$

Một cách nôm na ta có thể hiểu tam thức bậc hai là đa thức có ba số hạng.

Ví dụ: $f(x)=x^2-3x+2, g(x)=x^2-2x+1, h(x)=x^2+2x+3$ là những tam thức bậc hai.

II. Cách xét dấu của tam thức bậc hai

Okay, bây giờ chúng ta sẽ đi qua từng mục nhé, cũng rất đơn giản thôi các bạn ạ !

#1. Bảng xét dấu tam thức

Trường hợp 1. $\Delta<0$ không nhất thiết phải lập bảng xét dấu.

Trường hợp 2. $\Delta=0$ và $-\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$

Trường hợp 3. $\Delta>0$ và $x_1, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$

Giả sử $x_1<x_2$

#2. Các bước xét dấu tam thức bậc 2

• Bước 1. Tìm nghiệm của tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$, nôm na là giải phương trình $f(x)=0$
• Bước 2. Lập bảng xét dấu tương tự Trường hợp 2 hoặc Trường hợp 3
• Bước 3. Tiến hành xét dấu bằng một trong bốn cách bên dưới

#3. Bốn cách xét dấu của tam thức bậc hai thường dùng nhất

Cách #1. Sử dụng định lý

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ $(a \neq 0), \Delta=b^2-4ac$

• Nếu $\Delta<0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x \in R$
• Nếu $\Delta=0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$, ngoại trừ $x=-\frac{b}{2a}$
• Nếu $\Delta>0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ khi $x<x_1$ hoặc $x>x_{2}$, trái dấu với hệ số $a$ khi $x_1<x<x_2$ trong đó $x_1, x_2$ $(x_1<x_2)$ là hai nghiệm của $f(x)$

Cách #2. Sử dụng mẹo

Chúng ta sẽ sử dụng mẹo nhớ “khoảng cuối cùng dấu với hệ số $a$ qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép giữ nguyên dấu”

Đây là mẹo nhớ của mình, tùy vào cách tư duy và thói quen mà sẽ có những mẹo nhớ khác. Tuy nhiên, tất cả đều có chung một ý nghĩa và đều được suy ra từ định lý trên.

Cách #3. Sử dụng giá trị đại diện

Giả sử tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ có hai nghiệm phân biết là $x_1, x_2$ và $x_1<x_2$

• Lấy một giá trị $x_0$ bất kì thuộc khoảng $(-\infty, x_1)$
• Tính giá trị $f(x_0)=ax_0^2+bx_0+c$
• Nếu $f(x_0) > 0$ thì $+$ ngược lại thì $–$

Thực hiện tương tự để xét dấu f(x) khi x thuộc khoảng $(x_1, x_2); (x_2, +\infty)$

Cách #4. Quy về việc xét dấu nhị thức bậc nhất

Mình không khuyến khích các bạn sử dụng cách này và cách này cũng chỉ sử dụng được khi tam thức có nghiệm

Phân tích tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$ thành tích của hai nhị thức $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ với $x_1, x_2$ là nghiệm của tam thức bậc hai  $f(x)=ax^2+bx+c$

Xét dấu tích của hai nhị thức rồi suy ra dấu của tam thức

#4. Ví dụ minh họa về cách xét dấu của tam thức bậc 2

Ví dụ 1. Xét dấu tam thức $f(x)=x^2-3x+2$

Lời giải:

$f(x)=x^2-3x+2$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=1, x_2=2$ và hệ số $a=1>0$

Ta có bảng xét dấu:

Vậy:

• $f(x)>0$ khi $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$
• $f(x)<0$ khi $x \in (1,2)$
• $f(x)=0$ khi $x=1$ hoặc $x=2$

Ví dụ 2. Xét dấu tam thức $g(x)=x^2-2x+1$

Lời giải:

$g(x)=x^2-2x+1$ có một nghiệm kép duy nhất $x=1$ và hệ số $a=1>0$

Ta có bảng xét dấu:

Vậy:

• $g(x)>0$ khi $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$
• $g(x)=0$ khi $x=1$

Ví dụ 3. Xét dấu tam thức $h(x)=x^2+2x+3$

Lời giải:

Cách 1. $h(x)$ có $\Delta=-8<0$ và hệ số $a=1>0$ nên $h(x)>0$ với mọi $x \in (-\infty, +\infty)$

Cách 2. $h(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0$ với mọi $x \in (-\infty, +\infty)$

III. Xét dấu tích, thương các tam thức bậc hai

Tương tự tích, thương của các nhị thức bậc nhất, ta cũng có thể xét dấu tích, thương của các tam thức bậc hai một cách khá là đơn giản.

Ví dụ 5. Xét dấu $f(x)=\frac{(x^2-3x+2)(x^2-2x+1)}{x^2+2x+3}$

Lời giải:

Vì $x^2+2x+3=(x+1)^2>0$ mọi $x \in (-\infty, +\infty)$ nên f(x) xác định với mọi $x \in (-\infty, +\infty)$

Các tam thức $x^2-3x+2, x^2-2x+1$ có các nghiệm lần lượt là $1, 2, 1$ (nghiệm kép)

Các nghiệm được viết theo thứ tự tăng dần là $1, 2$

Các nghiệm này chia khoảng $(-\infty, +\infty)$ thành ba khoảng là $(-\infty, 1); (1,2); (2, +\infty)$

Vậy …

• $f(x)>0$ khi $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$
• $f(x)<0$ khi $x \in (1, 2)$
• $f(x)=0$ khi $x=1$ hoặc $x=2$

IV. Lời kết

Về cơ bản có bốn cách để xét dấu tam thức bậc hai, cá nhân mình cho rằng Cách 2 và Cách 3 là tối ưu nhất với hầu hết các trường hợp.

Thật vậy, …

• Cách 1. Khó nhớ
• Cách 2. Dễ nhớ
• Cách 3. Dễ nhớ và áp dụng được với nhị thức, tam thức và đa thức có bậc bất kì
• Cách 4. Tốn nhiều thời gian

Hi vọng là qua bài viết này thì bạn đã hiểu hơn về dấu của tam thức bậc hai. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

• 7 cách giải phương trình bậc hai đơn giản, hiệu quả
• Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai (trên giấy và trên máy tính)
• GeoGebra: Hỗ trợ dạy học định lý về dấu của tam thức bậc hai

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com