Cách giải mọi phương trình bậc ba (cách tổng quát)

Trong bài viết 3 cách giải phương trình bậc ba thì mình đã hướng dẫn cho các bạn cách giải một lớp phương trình bậc ba có dạng đặc biệt rồi.

Với những kiến thức trong bài viết đó thì bạn đã có thể giải được hầu hết các phương trình bậc ba thường gặp trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, …

Tuy nhiên, với một phương trình bậc ba không có gì đặc biệt, hay nói cách khác là để giải một phương trình bậc ba bất kỳ thì chưa thể làm được.

Vậy nên, nhằm khắc phục nhược điểm đó thì trong bài viết ngày hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về thuật giải mọi phương trình bậc ba nha các bạn. Đây là cách tổng quát để giải phương trình bậc 3.

#1. Phương trình bậc ba một ẩn là gì?

Phương trình bậc ba một ẩn có dạng $a’x^3+b’x^2+c’x+d’=0$ $(a’ \neq 0)$, với $a’, b’, c’, d’$ là những số thực cho trước.

Chia hai vế của phương trình cho $a’$ ta sẽ được phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$ $(*)$ tương đương với phương trình đã cho.

Các nhà Toán học đã chứng minh được mọi phương trình bậc ba một ẩn đều có thể đưa về phương trình $(*)$

Vậy nên, trong bài viết này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách giải phương trình $(*)$ để tránh quá rườm rà khi trình bày lời giải.

#2. Các bước giải phương trình bậc ba

Bước 1. Đặt $y=x+\frac{a}{3}$ hay $x=y-\frac{a}{3}$

Bước 2. Thay $x=y-\frac{a}{3}$ vào phương trình $(*)$ ta được phương trình $\left(y-\frac{a}{3}\right)^3+a\left(y-\frac{a}{3}\right)^2+b\left(y-\frac{a}{3}\right)+c=0$ hay $y^3+\left(-\frac{a^2}{3}+b\right)y+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0$

Bước 3. Đặt $p=-\frac{a^2}{3}+b$, $q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c$ ta được phương trình $y^3+py+q=0$ $(**)$

Bước 4. Áp dụng công thức nghiệm của nhà Toán học người Ý (Cardano Ginolamo)

$y_1=u_1+v_1$, $y_2=u_1\varepsilon+v_1\varepsilon^2$, $y_3=u_1\varepsilon^2+v_1\varepsilon$ với $u_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$, $v_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$, $\varepsilon=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$, $\varepsilon^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Bước 5. Với mỗi giá trị $y_1, y_2, y_3$ tìm được ở Bước 4 thì chúng ta sẽ lần lượt thay vào phương trình $y=x+\frac{a}{3}$ để tìm ra nghiệm của phương trình đã cho.

Đến đây chúng ta đã có thể giải được mọi phương trình bậc ba, tuy nhiên các bạn nên xem thêm phần #4 bên dưới (Biện luận về số nghiệm của phương trình bậc ba) và phần #5 (Căn bậc ba đơn vị) để hiểu thêm về thuật giải, tránh phải nhớ một cách máy móc quá nhiều thứ.

#3. Nhắc lại hai hằng đẳng thức có liên quan

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Việc vận dụng tốt hai hằng đẳng thức này sẽ giúp chúng ta thu gọn nhanh phương trình $\left(y-\frac{a}{3}\right)^3+a\left(y-\frac{a}{3}\right)^2+b\left(y-\frac{a}{3}\right)+c=0$

#4. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba

Đặt $\Delta=-(4p^3+27q^2)$

• Nếu $\Delta>0$ phương trình có ba nghiệm thực phân biệt
• Nếu $\Delta=0$ phương trình có ba nghiệm thực (một nghiệm đơn, một nghiệm bội hai), cụ thể là $y_1=2u_1, y_2=y_3=u_1(\varepsilon+\varepsilon^2)=-u_1$
• Nếu $\Delta<0$ phương trình có một nghiệm thực và hai nghiệm phức liên hợp

Nhờ vào số nghiệm của phương trình bậc ba thì chúng ta có thể giải nhanh phương trình, đặc biệt khi phương trình có một nghiệm thực đơn và một nghiệm thực bội hai.

#5. Căn bậc ba đơn vị

Khai căn bậc ba số phức $1$ hay $1+0i$ chúng ta sẽ thu được $1, \varepsilon, \varepsilon^2$

Thật vậy:

Số phức $1+0i$ có dạng lượng giác là $\cos(0)+i\sin(0)$

• $\sqrt[3]{1}=\cos\left(\frac{0+0.2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+0.2\pi}{3}\right)=1$
• $\sqrt[3]{1}=\cos\left(\frac{0+1.2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+1.2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\varepsilon$
• $\sqrt[3]{1}=\cos\left(\frac{0+2.2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{0+2.2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\varepsilon^2$

Nhờ vào công thức khai căn bậc ba của số phức $1$ mà chúng ta có thể tìm được giá trị của $\varepsilon, \varepsilon^2$ nếu không nhớ nổi.

#6. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^3+3x^2-3x-14=0$

Cách 1. Giải bằng công thức nghiệm tổng quát

Đặt $y=x+\frac{3}{3}$ hay $x=y-1$

Thay $x=y-1$ vào phương trình đã cho ta được phương trình $(y-1)^3+3(y-1)^2-3(y-1)-14=0 \Leftrightarrow y^3-6y-9=0$

Áp dụng công thức của Cardano Ginolamo ta được $u_1=\sqrt[3]{-\frac{-9}{2}+\sqrt{\frac{(-9)^2}{4}+\frac{(-6)^3}{27}}}=2$ và $v_1=\sqrt[3]{-\frac{-9}{2}-\sqrt{\frac{(-9)^2}{4}+\frac{(-6)^3}{27}}}=1$

Suy ra:

$y_1=2+1=3$

$y_2=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+1\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

$y_3=2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+1\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

• Với $y_1=3$ ta được phương trình $3=x+1 \Leftrightarrow x=2$
• Với $y_2=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ ta được phương trình $-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=x+1 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
• Với $y_3=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ ta được phương trình $-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=x+1 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\left\{2, -\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$

Cách 2. Giải bằng phương pháp nhẩm nghiệm nguyên

Nếu phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì chỉ có thể là một trong các ước của $-14$

Các ước của $-14$ là $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 4$

Lần lượt thử các ước trên ta thấy $2$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Lấy vế trái của phương trình đã cho chia cho $x-2$ ta được $x^2+5x+7$

Từ đó ta có sự phân tích $x^3+3x^2-3x-14=(x-2)(x^2+5x+7)$

Suy ra $x^3+3x^2-3x-14=0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+5x+7) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x-2=0 \\ x^2+5x+7=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=2 \\ \left[\begin{array}{l}x=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ x=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\left\{2, -\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^3-\sqrt{2}x^2+x-\sqrt{2}=0$

Nhận xét

• Phương trình không có điểm gì đặc biệt, suy ra bạn không thể sử dụng hệ quả của định lí Vi ét cũng không thể nhẩm nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ
• Cách tối ưu nhất để giải phương trình này là sử công thức nghiệm tổng quát

Phần lời giải dành cho các bạn vì hoàn toàn tương tự như Ví dụ 1

…

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\{\sqrt{2}, i, -i\}$

#7. Lời kết

Okay, như vậy là đến đây thì các bạn đã biết cách giải được mọi phương trình bậc ba, hay nói cách khác là tìm được công thức nghiệm tổng quát rồi đó.

Tuy nhiên, chỉ khi nào thật sự cần thiết (phương trình bậc ba không có điểm gì đặc biệt, không thể giải được bằng các cách đặc biệt, …) thì mới sử dụng cách này nha các bạn, đơn giản là vì cách này khá dài nên dễ sai sót trong quá trình tính toán.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn