Hằng đẳng thức là gì? 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (có ví dụ)

Xin chào tất cả các bạn, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các hằng đẳng thức đáng nhớ và những ứng dụng cơ bản của chúng.

Đầu tiên mình sẽ trình bày về định nghĩa, sau đó sẽ liệt kê ra một số ứng dụng tiêu biểu, liệt kê ra các hằng đẳng thức (cơ bản, mở rộng và tổng quát) và cuối cùng là cho ví dụ minh họa. Thế đã ok chưa nhỉ 🙂

Trong bốn phần vừa giới thiệu thì phần liệt kê các hằng đẳng thức và ví dụ minh họa là quan trọng nhất, các bạn nhớ dành nhiều thời gian cho phần nội dung này nhé.

I. Hằng đẳng thức là gì?

Trước khi tìm hiểu định nghĩa về hằng đẳng thức thì chúng ta cần định nghĩa đẳng thức trước. Như vậy các bạn sẽ hiểu rõ về bản chất hơn !

Đẳng thức là cặp biểu thức nối liền với nhau bởi dấu =

Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi trị số gán cho các chữ trong đó.

Còn theo Wikipedia định nghĩa thì: Hằng đẳng thức nghĩa là một loạt các đẳng thức có liên quan tới nhau, hợp lại thành một hằng đẳng thức.

Ví dụ: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ là một hằng đẳng thức vì …

• • Biểu thức $(a+b)^2$ và biểu thức $a^2+2ab+b^2$ được nối với nhau bởi dấu =
  • Với mọi giá trị của a, b thì đẳng thức luôn đúng.

Còn $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ không là một hằng đẳng thức vì hai biểu thức không được nối với nhau bởi dấu =

II. Hằng đẳng thức dùng để làm gì?

Hằng đẳng thức được ứng dụng rất nhiều trong Toán học, tiêu biểu nhất là …

• Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Tính giá trị biểu thức.
• Giải hệ phương trình đối xứng.

III. Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Có rất nhiều hằng đẳng thức khác, ở đây mình chỉ liệt kê các hằng đẳng thức thường gặp trong chương trình sách giáo khoa và tạm chia chúng thành ba nhóm.

#1. Các hằng đẳng thức cơ bản

Các hằng đẳng thức này rất cơ bản, rất thường gặp khi giải toán, vậy nên bạn cần phải ghi nhớ chúng như ghi nhớ bảng cửu chương nhé.

1. Bình phương của một tổng $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Bình phương của một hiệu $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
3. Hiệu hai bình phương $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. Lập phương của một tổng $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
5. Lập phương của một hiệu $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
6. Tổng hai lập phương $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
7. Hiệu hai lập phương $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

#2. Các hằng đẳng thức mở rộng

Dưới đây là các hằng đẳng thức mở rộng thường gặp, nếu bạn có thể nhớ được các hằng đẳng thức này thì quả là một điều tuyệt vời.

• $(a+b)^4=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$
• $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
• $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)$
• $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

#3. Các hằng đẳng thức tổng quát

Phàm cái gì tổng quát thì sẽ khó hiểu và khó nhớ. Tuy nhiên, nếu có thể nhớ và hiểu được thì bạn không cần nhớ các trường hợp cụ thể.

• $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+ \cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})$ biết n là một số tự nhiên bất kì
• $(a+b)^n=\sum^n_{k=0}C^k_na^{n-k}b^k$ với $C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}, k=0, 1, 2, \cdots, n$

Chú ý

• Không có hằng đẳng thức $a^n+b^n$ cho trường hợp n là một số tự nhiên bất kỳ.
• Khi cần khai triển biểu thức $(a-b)^n$ thì bạn hãy xem nó là $[a+(-b)]^n$ rồi tiến hành khai triển.

IV. Bài tập ví dụ về hằng đẳng thức

Ví dụ 1. Phân tích đa thức $9x^2-6x+1$ thành nhân tử

Cách 1:

Gợi ý: Dựa vào hằng đẳng thức thứ nhì $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Lời giải:

$9x^2-6x+1=(3x)^2-2(3x).1+1^2=(3x-1)^2$

Cách 2:

Gợi ý:

$f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ với $x_1, x_2$ là nghiệm của đa thức $ax^2+bx+c$

Nghiệm của đa thức $ax^2+bx+c$ cũng chính là nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$. Vậy thay vì phải mò mẫm nhẩm nghiệm của đa thức các bạn nên giải phương trình bậc hai tương ứng sẽ tiết kiệm được nhiều thời gian và công sức

Lời giải:

Đa thức $9x^2-6x+1$ có một nghiệm kép là $\frac{1}{3}$

=> $9x^2-6x+1=9\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)=9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2=(3x-1)^2$

Cách 3:

$9x^2-6x+1$

$=9\left(x^2-\frac{6}{9}x+\frac{1}{9}\right)$

$=9\left[\left(\frac{x^2}{x}-\frac{\frac{6}{9}x}{2x}\right)^2-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\right]$

$=9\left[\left(x-\frac{1}{3}\right)^2\right]=9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2=(3x-1)^2$

Ví dụ 2. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức $A=a^2+b^2$ biết a, b là nghiệm của phương trình $x^2+2x+3=0$

Cách 1:

Gợi ý:

Dựa vào hẳng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ phân tích biểu thức $A=a^2+b^2$ thành tổng, tích của a, b
Áp dụng định lí Viète

Lời giải:

$A=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

Áp dụng định lí Viète vào phương trình $x^2+2x+3=0$ ta được hệ thức $\left\{\begin{array}{ll}a+b&=-2\\ab&=3\end{array}\right.$

Suy ra $A=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-2)^2-2.3=-2$

Cách 2 (Sử dụng máy tính Casio FX):

Gợi ý:

Dựa vào phương trình tính toán Equation / Func, Complex
Dựa vào tính năng gán nghiệm của phương trình vào các biến nhớ

Cách giải:

Bước 1. Chọn phương thức tính toán Equation / Func => chọn Polynomial => nhấn phím số 2 (phương trình bậc 2)

 

Bước 2. Nhập các hệ số của phương trình …

Bước 3. Nhấn phím = => nhấn phím STO => nhấn phím $(-)$

Bước 4. Nhấn phím = => nhấn phím STO => nhấn phím ${}^o~^{‘}~~^{”}$

Bước 5. Chọn phương thức Complex

Bước 6. Nhập biểu thức $A^2+B^2$ => nhấn phím =

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}x+y&=2 \\ x^2+y^2&=4\end{array}\right.$

Cách 1:

Gợi ý:

Dựa vào hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Dựa vào định lí Viète đảo

Lời giải:

$\left\{\begin{array}{ll}x+y&=2 \\ x^2+y^2&=4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x+y&=2 \\ (x+y)^2-2xy&=4\end{array}\right.$

Đặt $S=x+y, P=xy$ ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}S&=2 \\ S^2-2P&=4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}S&=2 \\ 2^2-2P&=4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}S&=2 \\ P&=0\end{array}\right.$

Theo định lí Viète đảo $x, y$ sẽ là nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0 \Leftrightarrow X^2-2X=0$

Giải phương trình $X^2-2X=0$ ta được hai nghiệm là $X=0, X=2$

=> Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là $(0; 2)$ và $(2; 0)$

Cách 2:

Gợi ý:

Dựa vào phương pháp thế
Dựa vào hằng đẳng thức $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ để khai triển, rút gọn đa thức; giải phương trình

Lời giải:

$\left\{\begin{array}{ll}x+y&=2 \\ x^2+y^2&=4\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x&=2-y \\ (2-y)^2+y^2&=4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x&=2-y \\ 2y^2-4y+4&=4\end{array}\right.$

Giải phương trình $2y^2-4y+4=4$ ta được hai nghiệm là $y=0$ và $y=2$

• Thay $y=0$ vào phương trình $x=2-y$ ta được $x=2$
• Thay $y=2$ vào phương trình $x=2-y$ ta được $x=0$

=> Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(2; 0)$ và $(0; 2)$

Cách 3:

Gợi ý:

Vẽ phương trình đường thẳng $x+y=2$ và phương trình tròn $x^2+y^2=4$ trên cùng một hệ tọa độ.
Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số vừa vẽ.

Lời giải:

Quan sát hai đồ thị của hàm số ta thấy chúng có hai giao điểm là $A=(0; 2) và B=(2; 0)$

Dự đoán $(0; 2) và $(2; 0)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Thay $(0; 2) và $(2; 0)$ vào hệ phương trình ta được …

$\left\{\begin{array}{ll}0+2&=2 \\ 0^2+2^2&=4\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{ll}2+0&=2 \\ 2^2+0^2&=4\end{array}\right.$

Các hệ thức trên đều là ĐÚNG

=> Vậy $(0; 2) và $(2; 0)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho

V. Lời kết

Vâng, trên đây là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các hằng đẳng thức mở rộng quan trọng nhất.

Các hằng đẳng thức mà mình vừa trình bày đều đã được chứng minh, nếu muốn chứng minh lại thì bạn có thể biến đổi vế trái thành vế phải (nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn).

Tuy nhiên mình không khuyến khích các bạn làm như vậy, chỉ tốn thời gian chứ không được lợi ích gì cả.

Thay vào đó bạn nên dành thời gian để luyện tập thêm, làm thêm các ví dụ để ghi nhớ và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ này. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo ha !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com