Tam giác Pascal là gì? Bài tập ví dụ về tam giác Pascal

Khai triển đa thức là biến đổi một đa thức ở dạng tích các tổng, hoặc hiệu thành dạng tổng, hoặc hiệu các tích.

Khai triển đa thức là một trong những kiến thức cơ bản của môn Đại số mà ngay từ những năm Trung học cơ sở chúng ta đã được học

Trong rất nhiều bài toán chúng ta cần thực hiện thao tác khai triển mới có thể tìm ra đáp án, tiêu biểu như rút gọn biểu thức, rút gọn phân thức, giải phương trình, tính giới hạn, đạo hàm, tích phân, …

Về cơ bản thì quá trình khai triển không có gì khó khăn cả, nhưng khai triển sao cho nhanh chóng và chính xác thì không phải ai cũng làm được.

Có khá nhiều cách giúp chúng ta khai triển đa thức nhanh chóng và chính xác, trong đó dựa vào tam giác Pascal là một trong những cách phổ biến nhất. Và đó cũng là nội dung chính trong bài viết này.

#1. Tam giác Pascal là gì?

Tam giác Pascal là một mảng tam giác của các hệ số nhị thức. Các con số được sắp xếp để chúng phản ánh như một hình tam giác.

Tam giác Pascal được đặt tên theo tên của nhà Toán học đã tìm ra nó (Blaise Pascal).

cach-khai-trien-bieu-thuc-dua-vao-tam-giac-pascal (1)
7 dòng đầu tiên của một tam giác Pascal

#2. Cách xây dựng tam giác Pascal

Bước 1. Dòng thứ nhất viết một con số 1

cach-khai-trien-bieu-thuc-dua-vao-tam-giac-pascal (2)

Bước 2. Dòng thứ 2, viết hai con số 1

cach-khai-trien-bieu-thuc-dua-vao-tam-giac-pascal (3)

Bước 3. Dòng thứ ba …

a) Ở vị trí đầu dòng và cuối dòng viết số 1

cach-khai-trien-bieu-thuc-dua-vao-tam-giac-pascal (4)

b) Số ở chính giữa bằng tổng của hai số ở dòng thứ 2

cach-khai-trien-bieu-thuc-dua-vao-tam-giac-pascal (5)

tam-gia-pascal

Bước 4. Dòng thứ 4, dòng thứ 5, dòng thứ 6, …, thực hiện tương tự Bước 3

cach-khai-trien-bieu-thuc-dua-vao-tam-giac-pascal (1)

Một số lưu ý:

  • Dòng thứ n sẽ có n số.
  • Số đầu tiên và số cuối cùng trong cùng một dòng luôn là số 1
  • Dòng thứ n tương ứng với bậc n-1

Nếu xem tam giác Pascal là một tam giác cân thì hai cạnh bên luôn được tạo thành từ những con số 1

Tam giác trên có 7 dòng tương ứng với bậc 6, một cách dễ hiểu hơn là tam giác trên có thể sử dụng để khai triển biểu thức $(ax \pm by)^n$ với n tối đa bằng 6

#3. Ứng dụng tam giác Pascal trong giải toán như thế nào?

Hầu hết chúng ta đều sử dụng tam giác Pascal để khai triển các nhị thức, tức là các biểu thức có dạng $(ax \pm by)^n$

Chẳng hạn như: $(x+y)^2, (x-y)^3, (2x+3y)^2, \left(\frac{2}{3}x-\frac{5}{7}y\right)^3$

Chú ý:

  • n là một số tự nhiên.
  • a, b có thể là số thực hoặc đa thức.

#4. Bài tập ví dụ minh họa tam giác Pascal

Ví dụ 1. Khai triển nhị thức $(x+y)^2$

>Cách tư duy:

Bước 1. Xác định dấu và hệ số của các hạng tử.

  • Vì dấu của nhị thức là dấu + nên dấu của tất cả các hạng tử sẽ là dấu +
  • n = 2 nên chúng ta sẽ sử dụng dòng thứ ba của tam giác tức 1, 2, 1

$+1+2+1$

Bước 2. Biểu diễn x, bậc của x sẽ giảm dần từ 2 đến 0

$+1x^2+2x^1+1x^0$

Bước 3. Biểu diễn y, bậc của y sẽ tăng dần từ 0 đến 2

$+1x^2y^0+2x^1y^1+1x^0y^2$

Bước 4. Rút gọn biểu thức

$+1x^2y^0+2x^1y^1+1x^0y^2=x^2+2xy+y^2$

Vậy $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

Trình bày lời giải:

$(x+y)^2=+1x^2y^0+2x^1y^1+1x^0y^2=x^2+2xy+y^2$

Một số lưu ý:

  • Nếu chưa quen thì bạn nên viết quá trình tư duy ra giấy nháp trước.
  • “Bao nhiêu” mũ 1 cũng bằng chính nó
  • “Bao nhiêu” mũ 0 cũng bằng 1

Ví dụ 2. Khai triển nhị thức $(x-y)^3$

  • Vì dấu của nhị thức là dấu – nên dấu của các hạng tử lần lượt là +, -, +, –
  • Vì n = 3 nên chúng ta sẽ sử dụng dòng thứ tư của tam giác tức 1, 3, 3, 1

Lời giải:

$(x-y)^3=+1x^3y^0-3x^2y^1+3x^1y^2-1x^0y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

Ví dụ 3. Khai triển nhị thức $(2x+3y)^2$

  • Vì dấu của nhị thức là dấu + nên dấu của các hạng tử sẽ là +, +, +
  • n = 2 nên chúng ta sẽ sử dụng dòng thứ ba của tam giác tức 1, 2, 1

Lời giải:

$(2x+3y)^2=+1(2x)^2(3y)^0+2(2x)^1(3y)^1+1(2x)^0(3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$

Ví dụ 4. Khai triển nhị thức $\left(\frac{2}{3}x-\frac{5}{7}y\right)^3$

  • Vì dấu của nhị thức là dấu nên dấu của các hạng tử lần lượt là +, -, +, –
  • n = 3 nên chúng ta sẽ sử dụng dòng thứ tư của tam giác tức 1, 3, 3, 1

Lời giải:

$\left(\frac{2}{3}x-\frac{5}{7}y\right)^3$

$=+1\left(\frac{2}{3}x\right)^3\left(\frac{5}{7}y\right)^0-3\left(\frac{2}{3}x\right)^2\left(\frac{5}{7}y\right)^1+3\left(\frac{2}{3}x\right)^1\left(\frac{5}{7}y\right)^2-1\left(\frac{2}{3}x\right)^0\left(\frac{5}{7}y\right)^3$

$=\frac{8}{27} x^{3}-\frac{20}{21} x^{2} y+\frac{50}{49} x y^{2}-\frac{125}{343} y^{3}$

Ví dụ 5. Khai triển đa thức $(2x+3y-5z)^2$

Nhận xét $(2x+3y-5z)^2$ không phải là một nhị thức nhưng nếu biết cách sử dụng linh hoạt chúng ta vẫn có thể dựa vào tam giác Pascal để hỗ trợ quá trình khai triển

Cách 1: Sử dụng tam giác Pascal

$(2x+3y-5z)^2=[(2x+3y)-5z]^2$

  • Vì dấu của $[(2x+3y)-5z]^2$ là dấu – nên dấu của các hạng tử lần lượt là +, -, +
  • n = 2 nên chúng ta sẽ sử dụng dòng thứ ba của tam giác tức 1, 2, 1

Lời giải:

$[(2x+3y)-5z]^2$

$=+1(2x+3y)^2(5z)^0-2(2x+3y)^1(5z)^1+1(2x+3y)^0(5z)^2$

$=(2x+3y)^2-2(2x+3y)(5z)+25z^2$

Vì $(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$ nên …

$=(4x^2+12xy+9y^2)-2(2x+3y)(5z)+25z^2$

$=4 x^{2}+12 x y-20 x z+9 y^{2}-30 y z+25 z^{2}$

Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức

Để khai triển nhanh đa thức $(2x+3y-5z)^2$ bạn có thể sử dụng hằng đẳng thức $(a+b-c)^2=a^{2}+2 a b-2 a c+b^{2}-2 b c+c^{2}$

Ở đây a, b, c trong công thức sẽ lần lượt bằng 2x, 3y, 5z

$(2x+3y-5z)^2$

$=(2x)^2+2(2x)(3y)-2(2x)(5z)+(3y)^2-2(3y)(5z)+(5z)^2$

$=4 x^{2}+12 x y-20 x z+9 y^{2}-30 y z+25 z^{2}$

Cách 3: Nhân đa thức với đa thức

Cách này rất tốn thời gian nên mình không khuyến khích sử dụng, chỉ sử dụng khi bạn quên mất cách lập tam giác Pascal và quên luôn hằng đẳng thức $(a+b-c)^2$

$(2x+3y-5z)^2$

$=(2x+3y-5z)(2x+3y-5z)$

$=2x.2x+2x.3y-2x.5z+3y.2x+3y.3y-3y.5z-5z.2x-5z.3y+5z.5z$

$=4 x^{2}+12 x y-20 x z+9 y^{2}-30 y z+25 z^{2}$

#5. Lời kết

Như vậy tam giác Pascal sẽ giúp chúng ta khai triển nhanh các biểu thức có dạng $(ax \pm by)^2$ hoặc các biểu thức có dạng gần gần như vậy.

Tương tự như các phương pháp khác, phương pháp này cũng có một số nhược điểm nhất định, đó là:

  • Giả sử bạn cần sử dụng kết quả của dòng thứ 6 thì bạn phải bắt đầu lập từ dòng thứ 1 chứ không thể bắt đầu từ dòng thứ 5 từ khi bạn thuộc được dòng thứ 5.
  • Khi n có giá trị lớn hơn 10 thì việc khai triển bằng cách dựa vào tam giác Pascal khá tốn thời gian.

Để khắc phục 2 nhược điểm trên bạn có thể tìm hiểu về thêm nhị thức Newton trên Wikipedia nhé. Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn, xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

Bài viết đạt: 5/5 sao - (Có 1 lượt đánh giá)
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !

Administrator: Kiên Nguyễn

Có một câu nói của người Nhật mà mình rất thích đó là " Người khác làm được thì mình cũng làm được ". Chính vì thế mà hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn ! Nếu như bạn đang gặp khó khăn và cần sự trợ giúp thì hãy comment phía bên dưới mỗi bài viết để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng Blog Chia Sẻ Kiến Thức nhé.

Một vài lưu ý trước khi comment :

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *
Tất cả các comment của các bạn sẽ được giải đáp trong vòng 48h !
Không được sử dụng từ khóa trong ô 'Name', bạn hãy dùng tên thật hoặc Nickname của bạn !
Không dẫn link sang trang web/blog khác. Xem quy định comment tại đây. Thank All!

Leave a Reply

Your email address will not be published.