Cách tính đạo hàm cấp hai và cấp cao của một hàm số

Xin chào tất các bạn !

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách tính đạo hàm cấp hai và cấp cao của một hàm số bất kỳ.

Việc tính đạo hàm cấp hai, cấp ba, cấp bốn, …, tương tự như việc tính đạo hàm cấp một nhưng có phần phức tạp hơn một chút.

#1. Đạo hàm cấp hai là gì?

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f(x)^{\prime}$.

Nếu $f(x)^{\prime}$ cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm $f(x)$

Người ta thường ký hiệu đạo hàm cấp hai của hàm $f(x)$ là $f(x)^{\prime \prime}$.

$f(x)^{\prime \prime}=\left(f(x)^{\prime}\right)^{\prime}$

Chú ý:

• $f(x)^{\prime}$ được gọi là đạo hàm cấp một của hàm số $f(x)$
• Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=f(x)$ còn được kí hiệu là $y^{\prime \prime}$

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y=\frac{2x+3}{5x^2+7x+11}$

Lời giải:

$y’=\frac{2}{5 x^2+7 x+11}-\frac{(2 x+3)(10 x+7)}{\left(5 x^2+7 x+11\right)^2}$

$y”=-\frac{4(10 x+7)}{\left(5 x^2+7 x+11\right)^2}+\frac{2(2 x+3)(10 x+7)^2}{\left(5 x^2+7 x+11\right)^3}-\frac{10(2 x+3)}{\left(5 x^2+7 x+11\right)^2}$

#2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Chúng ta đã biết nếu một chất điểm chuyển động có phương trình $s=s(t)$ thì vận tốc tại thời điểm $t_0$ của chất điểm đó là:

$v\left(t_0\right)=s^{\prime}\left(t_0\right)$

Lúc bấy giờ nếu $t_0$ nhận một số gia $\Delta t$ thì $v\left(t_0\right)$ nhận một số gia là $\Delta v=v\left(t_0+\Delta t\right)-v\left(t_0\right)$

Khi $|\Delta t|$ càng nhỏ và khác $0$ thì $\Delta v$ càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t_0$

Trong Vật Lý giới hạn hữu hạn của tỉ số $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ khi $\Delta t$ dần đến $0$ được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ hay gia tốc tại thời điểm $t_0$  của chất điểm đó.

Người ta thường ký hiệu gia tốc tại thời điểm $t_0$ là $a\left(t_0\right)$

Suy ra $a\left(t_0\right)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}$

Ngoài ra chúng ta có thể phát biểu bằng lời ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai như sau:

Gia tốc tức thời $a(t_0)$  tại thời điểm $t_0$ của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình $s=s(t)$ bằng đạo hàm cấp hai của hàm số $s=s(t)$ tại điểm $t_0$

$a\left(t_0\right)=s^{\prime \prime}\left(t_0\right)$

Gia tốc tại thời điểm $t_0$ đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó.

#3. Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp $n-1$ với $n \in \mathbb{N}$ và $n \geq 2$ là $f^{(n-1)}$.

Nếu $f(x)^{(n-1)}$ là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp $n$ của hàm số $f(x)$

Người ta thường ký hiệu đạo hàm cấp $n$ của hàm số $f(x)$ là $f(x)^{(n)}$

Nói cách khác với $n$ là một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng $2$ chúng ta có $f(x)^{(n)}=\left[f^{(n-1)}\right]^{\prime}$

Đạo hàm cấp $n$ của hàm số  $y=f(x)$ còn được kí hiệu là $y^{(n)}$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y=2x^3+3x^2+5x+7$

Lời giải:

$y^{\prime}=6x^2+6x+5$

$y^{\prime \prime}=12x+6$

$y^{(3)}=12$

$y^{(n)}=0$ với mọi $n$ lớn hơn hoặc bằng bốn.

#4. Thủ thuật tính gần đúng đạo hàm cấp hai tại một điểm bằng máy Casio

Ở đây mình sẽ thực hành minh họa trên máy tính cầm tay CASIO fx 580 VN X, với các dòng máy tính cầm tay khác các bạn thực hiện tương tự ha.

Ví dụ 3. Tính đạo gần đúng đạo hàm cấp hai của hàm số $y=\frac{2x+3}{5x^2+7x+11}$ tại $x=2$

Bước 1. Nhập $10^{-9}$ => nhấn

Bước 2. Nhấn phím  => nhập $\frac{2x+3}{5x^2+7x+11}$ => nhấn phím  => nhập $A+2$ => nhấn phím => nhấn phím

Bước 3. Nhấn phím => nhấn phím   => nhấn phím

Bước 4. Nhập $\frac{B-C}{A}$ => nhấn phím

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số $y=\frac{2x+3}{5x^2+7x+11}$ tại $x=2$ gần bằng $0.0242434$

#5. Lời kết

Như vậy là mình vừa hướng dẫn cho bạn cách tính đạo hàm cấp hai của hàm số và tính đạo hàm cấp cao của một hàm số rồi nhé.

Trong hầu hết các trường hợp chúng ta chỉ có nhu cầu tính đạo hàm cấp hai, nhu cầu này phát sinh khi cần tìm cực trị của một hàm số bất kỳ.

Ngoài ra thì bạn cũng có thể sử dụng thủ thuật máy tính cầm tay Casio để tính gần đúng đạo hàm cấp hai tại một điểm.

Hi vọng những thông tin trong bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo.

Đọc thêm:

• Tìm tập xác định, đạo hàm, đồ thị.. của hàm số (lũy thừa, mũ và lôgarit)

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn