Cách viết phương trình đường tròn (2 trường hợp)

Hôm nay mình sẽ hướng dẫn cho các bạn cách viết phương trình đường tròn cho hai trường hợp thường gặp nhất.

Cụ thể là thông qua bài viết này, bạn sẽ biết cách viết phương trình đường tròn khi biết:

  • Tâm và bán kính.
  • Ba điểm đi qua.

Với trường hợp khi biết ba điểm đi qua mình sẽ hướng dẫn thêm cách viết nhanh bằng máy tính CASIO cho các bạn có thêm sự lựa chọn khi giải bài.

#1. Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

Người ta đã chứng minh được một phương trình đường tròn hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính của nó.

Phương trình đường tròn tâm $I=(x_0; y_0)$ và bán kính R sẽ là $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

Chú ý:
Phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ $O=(0; 0)$ và bán kính R sẽ là $x^2+y^2=R^2$

Ví dụ 1. Viết phương trình đường tròn biết tâm $I=(2; 3)$ và bán kính $R=5$

Lời giải:

Phương trình đường tròn cần tìm có dạng $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

Vì phương trình này có tâm $I=(2; 3)$ và bán kính $R=5$ nên ta được $(x-2)^2+(y-3)^2=25$

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $(x-2)^2+(y-3)^2=25$

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (1)

Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm $A=(2; 3)$ và $B=(5; 7)$ và nhận đoạn thẳng AB làm đường kính.

Quá trình tìm tòi lời giải:

Vì phương trình đường tròn cần tìm đi qua hai điểm A, B và nhận đoạn thẳng AB làm đường kính nên ta có:

  • Tọa độ trung điểm của hai điểm A, B chính là tâm của đường tròn.
  • Nửa độ dài đoạn thẳng AB chính là bán kính.

Lời giải:

Tọa độ tâm của đường tròn cần tìm là $\left(\frac{2+5}{2}; \frac{3+7}{2}\right)$ hay $\left(\frac{7}{2}; 5\right)$

Bán kính của đường tròn cần tìm là $\frac{\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}}{2}=\frac{5}{2}$

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $\left(x-\frac{7}{2}\right)^2+(y-5)^2=\frac{25}{4}$

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (2)

Nhận xét:

  • Vì có vô số đường tròn đi qua hai điểm bất kì nên phải có thêm giả thuyết hai điểm đi qua là đường kính hoặc một giải thuyết khác mới phù hợp với đại đa học sinh
  • Giả sử mình thay đổi giả thuyết một chút “Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm $A=(2; 3)$ và $B=(5; 7)$ và nhận đoạn thẳng AB làm bán kính” thì chúng ta sẽ viết được hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu của bài toán
  • Bản chất của Ví dụ 2 cũng là viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

#2. Viết phương trình đường tròn khi biết ba điểm đi qua

Phương trình đường tròn $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ còn có thể viết dưới dạng khai triển là $x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+c=0$ với $c=x_0^2+y_0^2-R^2$

Khi được yêu cầu viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm chúng ta sẽ sử dụng phương trình ở dạng khai triển.

Giả sử phương trình đường tròn cần tìm đi qua ba điểm $A=(x_a; y_a), B=(x_b; y_b), C=(x_c; y_c)$

Bước 1. Lần lượt thay tọa độ ba điểm A, B, C vào phương trình khai triển ta sẽ được hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn $\left\{\begin{array}{ll}x_a^2+y_a^2-2x_0x_a-2y_0y_a+c&=0\\x_b^2+y_b^2-2x_0x_b-2y_0y_b+c&=0\\x_c^2+y_c^2-2x_0x_c-2y_0y_c+c&=0\end{array}\right.$

Bước 2. Sử phương phương pháp thế, phương pháp cộng, … giải hệ này ta tìm được nghiệm $x_0, y_0, c$

Có thể bạn đang tìm: 5 phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 3. Thay $x_0, y_0, c$ vào phương trình $x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+c=0$  chúng ta sẽ được một phương trình đường tròn.

Chú ý:
Các cụm từ ba điểm thuộc đường tròn, ba điểm nằm trên đường tròn, đường tròn đi qua ba điểm là cùng một nghĩa.

Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A=(2; 3), B=(5; 7), C=(-2; 3)$

Lời giải:

Phương trình đường tròn cần tìm có dạng $x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+c=0$ và đi qua ba điểm $A=(2; 3), B=(5; 7), C=(-2; 3)$ nên ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}2^2+3^2-2x_02-2y_03+c&=0\\5^2+7^2-2x_05-2y_07+c&=0\\(-2)^2+3^2-2x_0(-2)-2y_03+c&=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}-4x_0-6y_0+c&=-13\\-10x_0-14y_0+c&=-74\\4x_0-6y_0+c&=-13\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x_0&=0\\y_0&=\frac{61}{8}\\c&=\frac{131}{4}\end{array}\right.$

Vậy => phương trình đường tròn cần tìm là $x^2+y^2-\frac{61}{4}y+\frac{131}{4}=0$

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (3)

#3. Sử dụng máy tính CASIO để viết nhanh phương trình đường tròn đi qua ba điểm

Nền tảng của thủ thuật này chính là phương trình $x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+c=0$ và phương thức tính toán Equation / Func

Ví dụ 4. Phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A=(2; 3), B=(5; 7), C=(-2; 3)$ là:

  1. $x^2+y^2-\frac{61}{4}y+\frac{131}{4}=0$
  2. $x^2+y^2+\frac{61}{4}y+\frac{131}{4}=0$
  3. $x^2+y^2-\frac{61}{4}y-\frac{131}{4}=0$
  4. $x^2+y^2+\frac{61}{4}y-\frac{131}{4}=0$

Các bước thực hiện:

Bước 1. Chọn phương thức tính toán Equation / Func

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (4)

Bước 2. Chọn Simul Equation

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (5)

Bước 3. Nhấn phím số 3 trên bàn phím

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (6)

Bước 4. Nhập các hệ số của hệ phương trình:

  • Đối phương trình thứ nhất, giá trị các hệ số theo thứ tự sẽ là hai lần hoành độ điểm thứ nhất => hai lần trung độ điểm thứ nhất => -1 => tổng của bình phương hoàng độ trung độ của điểm thứ nhất.
  • Đối phương trình thứ 2, thứ ba cũng tương tự như vậy.

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (7)

Bước 5. Nhấn phím = => nhấn phím = => nhấn phím =

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (8)

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (9)

cach-viet-phuong-trinh-duong-tron (10)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $x^2+y^2-\frac{61}{4}y+\frac{131}{4}=0$

Đáp án là phương án A

#4. Lời kết

Okay ! Đến đây thì chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu xong cách viết phương trình đường tròn cho hai trường hợp thường gặp nhất rồi đó các bạn.

Các trường hợp còn lại cũng chỉ là biến tấu từ hai trường hợp này, nếu gặp thì các bạn có thể biến đổi sơ cấp rồi thực hiện tương tự như hướng dẫn bên trên.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

Bài viết đạt: 5/5 sao - (Có 1 lượt đánh giá)
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !

Administrator: Kiên Nguyễn

Có một câu nói của người Nhật mà mình rất thích đó là " Người khác làm được thì mình cũng làm được ". Chính vì thế mà hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn ! Nếu như bạn đang gặp khó khăn và cần sự trợ giúp thì hãy comment phía bên dưới mỗi bài viết để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng Blog Chia Sẻ Kiến Thức nhé.

Một vài lưu ý trước khi comment :

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *
Tất cả các comment của các bạn sẽ được giải đáp trong vòng 48h !
Không được sử dụng từ khóa trong ô 'Name', bạn hãy dùng tên thật hoặc Nickname của bạn !
Không dẫn link sang trang web/blog khác. Xem quy định comment tại đây. Thank All!

Leave a Reply

Your email address will not be published.