Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm bằng Casio

Bài tập viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm là một trong những bài toán hình học không gian cơ bản, rất thường gặp trong các đề kiểm tra.

Giải bài toán trên tuy không khó nhưng việc phải thay tọa độ các điểm vào phương trình $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+d=0$, rồi bắt đầu giải hệ bốn phương trình tốn khá nhiều thời gian.

Vậy nên, để tiết kiệm thời gian và tránh khỏi những sai sót không đáng có thì bạn có thể viết nhanh phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm bằng máy tính Casio.

#1. Cơ sở Toán học của thủ thuật này

Phương trình mặt cầu ngoài được viết dưới dạng $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

… thì còn được viết dưới dạng $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+d=0$ với $d=x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2$

• Dạng $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$ thường được sử dụng khi biết tâm và bán kính.
• Dạng $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+d=0$ thường được sử dụng khi biết tọa độ bốn điểm đi qua.

Giả sử phương trình mặt cầu cần tìm có dạng $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+d=0$ và đi qua bốn điểm $A=(x_a, y_a, z_a); B=(x_b, y_b, z_b); C=(x_c, y_c, z_c)$ và $D=(x_d, y_d, z_d)$

Lần lượt thay tọa độ bốn điểm A, B, C và D vào phương trình $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+d=0$ chúng ta được hệ bốn phương trình như sau:

$\left\{\begin{array}{}x_a^2+y_a^2+z_a^2-2x_0x_a-2y_0y_a-2z_0z_a+d&=0\\x_b^2+y_b^2+z_b^2-2x_0x_b-2y_0y_b-2z_0z_b+d&=0\\x_c^2+y_c^2+z_c^2-2x_0x_c-2y_0y_c-2z_0z_c+d&=0\\x_d^2+y_d^2+z_d^2-2x_0x_d-2y_0y_d-2z_0z_d+d&=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{}2x_ax_0+2y_ay_0+2z_az_0-d&=x_a^2+y_a^2+z_a^2\\2x_bx_0+2y_by_0+2z_bz_0-d&=x_b^2+y_b^2+z_b^2\\2x_cx_0+2y_cy_0+2z_cz_0-d&=x_c^2+y_c^2+z_c^2\\2x_dx_0+2y_dy_0+2z_dz_0-d&=x_d^2+y_d^2+z_d^2\end{array}\right.$

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng tính năng Simul Equation trên máy tính Casio để giải hệ bốn phương trình, chúng ta sẽ tìm được $x_0, y_0, z_0$ và d

Lúc này, thay $x_0, y_0, z_0$ và d vào phương trình $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+d=0$ thì chúng ta sẽ viết được phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm.

#2. Mẹo nhớ các hệ số của hệ bốn phương trình

#3. Cách viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm trên Casio fx 880 BTG

NOTE:
Nếu chưa có máy tính Casio 880 BTG này thì bạn có thể đặt mua chính hãng tại đây hoặc tại đây !

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A=(0, 0, 1); B=(0, 2, 0); C=(3, 0, 0) và D=(0, -4, 0)

Bước 1. Lập hệ bốn phương trình.

Lần lượt thay tọa độ bốn điểm A, B, C và D vào phương trình $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+d=0$ thì..

Chúng ta được hệ bốn phương trình $\left\{\begin{array}{}2z_0-d=1\\ 4y_0-d=4\\ 6x_0-d=9 \\-8y_0-d=16\end{array}\right.$

Bước 2. Giải hệ bốn phương trình.

Nhấn phím HOME => chọn Equation => nhấn phím OK => chọn Simul Equation => nhấn phím OK => chọn 4 Unknowns => nhấn phím OK

Bước 3. Lần lượt nhập các hệ số của hệ bốn phương trình theo thứ tự và đầy đủ (dựa vào mẹo để nhập nhanh chóng và chính xác).

Bước 4. Nhấn phím EXE (bốn lần)

Vậy => phương trình mặt cầu cần tìm là $x^2+y^2+z^2-\frac{1}{3}x+2y+7z-8 =0$

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

Xem video thác tác trên Casio 880 BTG

#4. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm trên Casio fx 580 VN X

NOTE:
Nếu chưa có máy tính Casio 580 VNX này thì bạn có thể đặt mua chính hãng tại đây hoặc tại đây nhé !

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A=(0, 0, 2); B=(0, 3, 0); C=(4, 0, 0) và D=(0, -5, 0)

Bước 1. Lập hệ bốn phương trình.

Lần lượt thay tọa độ bốn điểm A, B, C và D vào phương trình $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+d=0$ thì..

Chúng ta được hệ bốn phương trình $\left\{\begin{array}{}4z_0-d=4\\ 6y_0-d=9\\ 8x_0-d=16 \\-10y_0-d=25\end{array}\right.$

Bước 2. Giải hệ bốn phương trình.

Nhấn phím MENU => chọn Equation / Func => nhấn phím  => nhấn phím 1 để chọn Simul Equation => nhấn phím 4 để chọn hệ bốn phương trình

Bước 3. Lần lượt nhập các hệ số của hệ bốn phương trình theo thứ tự và đầy đủ (dựa vào mẹo để nhập nhanh chóng và chính xác)

Bước 4. Nhấn phím = (bốn lần)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là $x^2+y^2+z^2-\frac{1}{4}x+2y+\frac{11}{2}z-15 =0$

Xem video thác tác trên Casio 580 VNX

#5. Lời kết

Vâng, trên đây là cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm bằng máy tính Casio đơn giản nhất mà mình muốn chia sẻ đến các bạn.

Qua bốn điểm không đồng phẳng thì chúng ta luôn viết được một và chỉ được phương trình mặt cầu.

Vì vậy, nếu máy tính CASIO thông báo là No Solution hoặc Infinite Solution khi giải hệ 4 phương trình thì hãy kiểm tra lại ngay nha, nhiều khả năng các hệ số của phương trinhd đã bị sai.

H vọng những thông tin trong bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo.

Đọc thêm:

• Cách viết phương trình mặt cầu (2 trường hợp)
• Cách viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
• Cách viết phương trình đường thẳng trên mặt phẳng
• Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn