Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian

Xin chào tất cả các bạn, hôm nay mình sẽ hướng dẫn các bạn cách viết phương trình đường thẳng trong không gian một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.

Phương trình đường thẳng trong không gian có tất cả ba dạng, nhưng vì lý do sư phạm mình chỉ trình bày hai dạng thường gặp nhất mà thôi.

Đó là phương trình tham sốphương trình chính tắc, còn về phương trình tổng quát thì mình chỉ trình bày sơ qua thôi nha cá bạn !

Trường hợp #1. Đường thẳng đi qua một điểm và có một véc tơ chỉ phương

Phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm $M_0=(x_0; y_0; z_0)$ và có véc tơ chỉ phương $\vec{a}=(a_1; a_2; a_3)$ là $\left\{\begin{array}{ll}x&=x_0+ta_1\\y&=y_0+ta_2\\z&=z_0+ta_3\end{array}\right.$, với t là tham số.

Phương trình đường thẳng có dạng như trên được gọi là phương trình tham số !

Ví dụ 1. Viết phương trình của đường thẳng (d) biết (d) đi qua điểm $M_0=(2; 3; 5)$ và có véc tơ chỉ phương $\vec{a}=(7; 11; 13)$

Lời giải:

Phương trình của đường thẳng (d) là $\left\{\begin{array}{ll}x&=2+7t\\y&=3+11t\\z&=5+13t\end{array}\right.$

cach-viet-phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian (1)

Trường hợp #2. Đường thẳng đi qua hai điểm

Ví dụ 2. Viết phương trình của đường thẳng (d) biết (d) đi qua điểm $A=(2; 3; 5)$ và điểm $B=(-7; -11; -13)$

Quá trình tìm tòi lời giải:

Về cơ bản thì chúng ta có hai cách để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước: dựa vào véc tơ chỉ phương và dựa vào phương trình dạng chính tắc.

Cách 1. Dựa vào véc tơ chỉ phương

Trước hết ta nhận xét rằng $\overrightarrow{AB}$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d)

Khi tìm được véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đồng nghĩa với việc chúng ta đã quy về Trường hợp 1 biết một điểm đi qua (điểm A hoặc điểm B) và một véc tơ chỉ phương

Cách 2. Dựa vào phương trình dạng chính tắc

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm $M_1=(x_1; y_1; z_1)$ và $M_2=(x_2; y_2; z_2)$ là $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$

Lời giải:

Cách 1. Dựa vào véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow{AB}=(-9; -14; -18)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và điểm đi qua là điểm $A=(2; 3; 5)$

Lúc bấy giờ, phương trình của đường thẳng (d) là $\left\{\begin{array}{ll}x&=2-9t\\y&=3-14t\\z&=5-18t\end{array}\right.$

Cách 2. Dựa vào phương trình dạng chính tắc

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm $A=(2; 3; 5)$ và $B=(-7; -11; -13)$ là $\frac{x-2}{-7-2}=\frac{y-3}{-11-3}=\frac{z-5}{-13-5}$ hay $\frac{x-2}{-9}=\frac{y-3}{-14}=\frac{z-5}{-18}$

cach-viet-phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian (2)

Chú ý:
Phương trình được tìm theo Cách 2 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.

Phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là $\left\{\begin{array}{ll}Ax+By+Cz+D&=0\\A’x+B’y+C’z+D’&=0\end{array}\right.$ (với điều kiện là A, B, C không đồng thời bằng 0 và A’, B’, C’ cũng không đồng thời bằng 0)

Nếu $(A:B:C) \neq (A’:B’:C’)$ thì đường thẳng (d) có một véc tơ chỉ phương là $\left(\left|\begin{array}{cc}B&C\\B’&C’\end{array}\right|; \left|\begin{array}{cc}C&A \\C’&A’\end{array}\right|; \left|\begin{array}{cc}A&B\\A’&B’\end{array}\right|\right)$ hay $(BC’-B’C;CA’-C’A;AB’-A’B)$

Ví dụ 3. Tìm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) có phương trình tổng quát là $\left\{\begin{array}{ll}2x+3y+5z+7&=0\\-2x+5y-11z+17&=0\end{array}\right.$

cach-viet-phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian (3)

Lời giải:

Vì $(2:3:5) \neq (-2:5:-11)$ nên chúng ta có thể chọn $(3(-11)-5.5; 5(-2)-(-11).2; 2.5-(-2).3)$ hay $(-58; 12; 16)$ làm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d)

Thủ thuật tìm nhanh véc tơ chỉ phương khi phương trình đường thẳng được cho dưới dạng tổng quát

Bạn hãy xem $\vec{a}=(2; 3; 5)$ và $\vec{b}=(-2; 5; -11)$, sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X tính tích có hướng của hai véc tơ này là xong.

Véc tơ tính được chính là véc tơ chỉ phương cần tìm !

Lời kết

Ở đây mình trình bày thêm Phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian là để dành cho các bài viết tiếp theo.

Thông thường, người ta sẽ yêu cầu chúng ta viết phương trình đường thẳng rồi xét vị trí tương đối của nó với một đường thẳng khác hoặc với một mặt phẳng.

Lúc đó bạn cần nhận dạng được phương trình đường thẳng của đã cho hoặc đã viết là tham số, chính tắc hay là tổng quát. Và phải biết cách chuyển qua lại giữa ba dạng trên mới có thể xét được dễ dàng.

Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

Bài viết đạt: 5/5 sao - (Có 1 lượt đánh giá)
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !

Administrator: Kiên Nguyễn

Có một câu nói của người Nhật mà mình rất thích đó là " Người khác làm được thì mình cũng làm được ". Chính vì thế mà hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn ! Nếu như bạn đang gặp khó khăn và cần sự trợ giúp thì hãy comment phía bên dưới mỗi bài viết để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng Blog Chia Sẻ Kiến Thức nhé.

Một vài lưu ý trước khi comment :

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *
Tất cả các comment của các bạn sẽ được giải đáp trong vòng 48h !
Không được sử dụng từ khóa trong ô 'Name', bạn hãy dùng tên thật hoặc Nickname của bạn !
Không dẫn link sang trang web/blog khác. Xem quy định comment tại đây. Thank All!

Leave a Reply

Your email address will not be published.