Blog Chia Sẻ Kiến Thức Máy tính – Công nghệ & Cuộc sống
Xin chào tất cả các bạn, hôm nay mình sẽ hướng dẫn các bạn cách viết phương trình đường thẳng trong không gian một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.
Phương trình đường thẳng trong không gian có tất cả ba dạng, nhưng vì lý do sư phạm mình chỉ trình bày hai dạng thường gặp nhất mà thôi.
Đó là phương trình tham số và phương trình chính tắc, còn về phương trình tổng quát thì mình chỉ trình bày sơ qua thôi nha cá bạn !
Mục Lục Nội Dung
Trường hợp #1. Đường thẳng đi qua một điểm và có một véc tơ chỉ phương
Phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm $M_0=(x_0; y_0; z_0)$ và có véc tơ chỉ phương $\vec{a}=(a_1; a_2; a_3)$ là $\left\{\begin{array}{ll}x&=x_0+ta_1\\y&=y_0+ta_2\\z&=z_0+ta_3\end{array}\right.$, với t là tham số.
Phương trình đường thẳng có dạng như trên được gọi là phương trình tham số !
Ví dụ 1. Viết phương trình của đường thẳng (d) biết (d) đi qua điểm $M_0=(2; 3; 5)$ và có véc tơ chỉ phương $\vec{a}=(7; 11; 13)$
Lời giải:
Phương trình của đường thẳng (d) là $\left\{\begin{array}{ll}x&=2+7t\\y&=3+11t\\z&=5+13t\end{array}\right.$
Trường hợp #2. Đường thẳng đi qua hai điểm
Ví dụ 2. Viết phương trình của đường thẳng (d) biết (d) đi qua điểm $A=(2; 3; 5)$ và điểm $B=(-7; -11; -13)$
Quá trình tìm tòi lời giải:
Về cơ bản thì chúng ta có hai cách để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước: dựa vào véc tơ chỉ phương và dựa vào phương trình dạng chính tắc.
Cách 1. Dựa vào véc tơ chỉ phương
Trước hết ta nhận xét rằng $\overrightarrow{AB}$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d)
Khi tìm được véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đồng nghĩa với việc chúng ta đã quy về Trường hợp 1 biết một điểm đi qua (điểm A hoặc điểm B) và một véc tơ chỉ phương
Cách 2. Dựa vào phương trình dạng chính tắc
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm $M_1=(x_1; y_1; z_1)$ và $M_2=(x_2; y_2; z_2)$ là $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$
Lời giải:
Cách 1. Dựa vào véc tơ chỉ phương
$\overrightarrow{AB}=(-9; -14; -18)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và điểm đi qua là điểm $A=(2; 3; 5)$
Lúc bấy giờ, phương trình của đường thẳng (d) là $\left\{\begin{array}{ll}x&=2-9t\\y&=3-14t\\z&=5-18t\end{array}\right.$
Cách 2. Dựa vào phương trình dạng chính tắc
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm $A=(2; 3; 5)$ và $B=(-7; -11; -13)$ là $\frac{x-2}{-7-2}=\frac{y-3}{-11-3}=\frac{z-5}{-13-5}$ hay $\frac{x-2}{-9}=\frac{y-3}{-14}=\frac{z-5}{-18}$
Chú ý:
Phương trình được tìm theo Cách 2 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.
Phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian
Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là $\left\{\begin{array}{ll}Ax+By+Cz+D&=0\\A’x+B’y+C’z+D’&=0\end{array}\right.$ (với điều kiện là A, B, C không đồng thời bằng 0 và A’, B’, C’ cũng không đồng thời bằng 0)
Nếu $(A:B:C) \neq (A’:B’:C’)$ thì đường thẳng (d) có một véc tơ chỉ phương là $\left(\left|\begin{array}{cc}B&C\\B’&C’\end{array}\right|; \left|\begin{array}{cc}C&A \\C’&A’\end{array}\right|; \left|\begin{array}{cc}A&B\\A’&B’\end{array}\right|\right)$ hay $(BC’-B’C;CA’-C’A;AB’-A’B)$
Ví dụ 3. Tìm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) có phương trình tổng quát là $\left\{\begin{array}{ll}2x+3y+5z+7&=0\\-2x+5y-11z+17&=0\end{array}\right.$
Lời giải:
Vì $(2:3:5) \neq (-2:5:-11)$ nên chúng ta có thể chọn $(3(-11)-5.5; 5(-2)-(-11).2; 2.5-(-2).3)$ hay $(-58; 12; 16)$ làm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d)
Thủ thuật tìm nhanh véc tơ chỉ phương khi phương trình đường thẳng được cho dưới dạng tổng quát
Bạn hãy xem $\vec{a}=(2; 3; 5)$ và $\vec{b}=(-2; 5; -11)$, sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X tính tích có hướng của hai véc tơ này là xong.
Véc tơ tính được chính là véc tơ chỉ phương cần tìm !
Lời kết
Ở đây mình trình bày thêm Phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian là để dành cho các bài viết tiếp theo.
Thông thường, người ta sẽ yêu cầu chúng ta viết phương trình đường thẳng rồi xét vị trí tương đối của nó với một đường thẳng khác hoặc với một mặt phẳng.
Lúc đó bạn cần nhận dạng được phương trình đường thẳng của đã cho hoặc đã viết là tham số, chính tắc hay là tổng quát. Và phải biết cách chuyển qua lại giữa ba dạng trên mới có thể xét được dễ dàng.
Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !
Đọc thêm:
- Cách viết phương trình đường thẳng trên mặt phẳng
- Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng CASIO
CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
