Blog Chia Sẻ Kiến Thức Máy tính – Công nghệ & Cuộc sống
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác, hay phương trình đường tròn nội tiếp tam giác, … là một trong những phương trình đường tròn rất thường gặp trong Toán học.
Chúng ta sẽ gặp từ chương trình Toán học Trung học Phổ thông cho đến Cao Đẳng, Đại học và cả Cao học nữa.
Tuy cách viết không có gì khó khăn và phức tạp, nhưng vì có quá nhiều phương trình đường tròn nên nhiều bạn sẽ nhầm lẫn và không viết được một cách chính xác.
Vậy nên hôm nay mình sẽ hướng dẫn lại cho bạn cách viết phương đường tròn ngoại tiếp tam giác một cách chi tiết nhất có thể. Hi vọng là sẽ giúp bạn hiểu được bản chất và nhớ được lâu hơn.
Mục Lục Nội Dung
#1. Nhắc lại định nghĩa
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác !
Chú ý:
- Tam giác nào cũng có đúng một đường tròn ngoại tiếp.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp cách đều ba đỉnh của tam giác.
Đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ hoặc tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$
#2. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác xác định khi nào?
Về cơ bản, một phương trình đường tròn bất kỳ xác định / viết được khi biết tâm và bán kính, HOẶC biết ba điểm thuộc đường tròn.
Mặc khác, như chúng ta đã biết:
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ cách đều ba đỉnh.
Vậy tìm được tâm và tính được khoảng cách từ tâm đến một đỉnh bất kỳ thì chúng ta sẽ viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác.
#3. Các bước viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dưới đây là hai cách viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác được sử dụng nhiều nhất:
Cách 1. Dựa vào các đường trung trực
Cho tam giác $ABC$ có $A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c)$, viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Bước 1. Gọi $A’, B’$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA$
$A’=\left(\frac{x_b+x_c}{2}, \frac{y_b+y_c}{2}\right)$
$B’=\left(\frac{x_c+x_a}{2}, \frac{y_c+y_a}{2}\right)$
Bước 2. Viết phương trình đường trung trực của cạnh $BC$
Giả sử phương trình đường trung trực của cạnh $BC$ là $A_1x+B_1y+C_1=0$
Bước 3. Viết phương trình đường trung trực của cạnh $CA$
Giả sử phương trình đường trung trực của cạnh $CA$ là $A_2x+B_2y+C_2=0$
Bước 4. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ chính là giao điểm của $A_1x+B_1y+C_1=0$ và $A_2x+B_2y+C_2=0$
Giả hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2=0 \end{array}\right.$ chúng ta sẽ tìm được giao điểm
Giả sử giao điểm là $O(x_o, y_o)$
Bước 5. Khoảng cách $OA$ chính là độ dài bán kính $R$
$OA=\sqrt{(x_a-x_o)^2+(y_a-y_o)^2}$
Giả sử $OA=R$
Bước 6. Lúc bấy giờ phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2$
Cách 2. Dựa vào định nghĩa
Cho tam giác $ABC$ có $A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c)$, viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ $(*)$
Nếu chúng ta tìm được $a, b, c$ thì sẽ tìm được $(*)$
Mặc khác vì $(*)$ đi qua ba đỉnh $A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c)$ nên $a, b, c$ là nghiệm của hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn $\left\{\begin{array}{l}x_a^2+y_a^2-2ax_a-2by_a+c=0 \\ x_b^2+y_b^2-2ax_b-2by_b+c=0 \\ x_c^2+y_c^2-2ax_c-2by_c+c=0\end{array}\right.$
#4. Bài tập ví dụ
Cho tam giác $ABC$ biết $A=(5, 3), B=(4, 1), C=(7, 1)$, viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Cách 1. Dựa vào các đường trung trực
Dễ thấy phương trình đường trung trực của cạnh $BC$ là $2x-11=0$
Dễ thấy phương trình đường trung trực của cạnh $CA$ là $x-y-4=0$
Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}2x-11=0 \\ x-y-4=0 \end{array}\right.$ ta được nghiệm là $\left(\frac{11}{2}, \frac{3}{2}\right)$
Xem thâm Cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Suy ra điểm $O\left(\frac{11}{2}, \frac{3}{2}\right)$ là tâm của phương trình đường tròn cần tìm
Suy ra bán kính của đường tròn cần tìm là $OA=\sqrt{\left(5-\frac{11}{2}\right)^2+\left(3-\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $\left(x-\frac{11}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{2}$
Cách 2. Dựa vào định nghĩa phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn cần tìm có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ và đi qua ba đỉnh $A=(5, 3), B=(4, 1), C=(7, 1)$ nên ta có hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn.
 |
 |
| Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki] |
CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada] |
$\left\{\begin{array}{l}5^2+3^2-2a5-2b3+c=0 \\ 4^2+1^2-2a4-2b1+c=0 \\ 7^2+1^2-2a7-2b1+c=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-10a-6b+c=-34 \\ -8a-2b+c=-17 \\ -14a-2b+c=-50\end{array}\right.$ $(*)$
Giải $(*)$ ta được nghiệm là $\left(\frac{11}{2}, \frac{3}{2}, 30\right)$
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $x^2+y^2-11x-3y+30=0$
Chú ý:
Phương trình tìm được bằng Cách 1 và Cách 2 tuy khác nhau về mặt hình thức nhưng bản chất vẫn là một. Và tất nhiên bạn có thể biến đổi qua lại một cách dễ dàng.
Thật vậy:
$\left(x-\frac{11}{2}\right)^2-\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{2}$ $(*)$
$(*) \Leftrightarrow x^2-11x+\frac{121}{4}+y^2-3y+\frac{9}{4}-\frac{5}{2}=0$
$(*) \Leftrightarrow x^2+y^2-11x-3y+30=0$
#5. Giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính CASIO
Giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn $\left\{\begin{array}{l}-10a-6b+c=-34 \\ -8a-2b+c=-17 \\ -14a-2b+c=-50\end{array}\right.$ bằng máy tính CASIO fx-580VN X
Bước 1. Lần lượt nhấn các phím 
để chọn hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn:
Bước 2. Lần lượt nhấn các phím …
… để nhập các hệ số
Bước 3. Nhấn phím 
=> nhấn phím => nhấn phím
Xem video về các thao tác:
#6. Lời kết
Đó là cách viết phương đường tròn ngoại tiếp tam giác mà mình muốn chia sẻ đến các bạn !
Thay cho lời kết thì mình xin gửi đến các bạn một số kiến thức cơ bản về phương trình đường tròn, bạn nào chưa biết thì đọc cho biết, bạn nào đã quên thì đọc để nhớ lại ha:
Phương trình đường tròn tâm $I(a, b)$ và bán kính $R$ là $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
Ngoài ra phương trình $x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ với $a^2+b^2>c$ cũng là một phương trình đường tròn. Phương trình đường tròn này có tâm là $I(-a, -b)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$
Okay, hi vọng là bài viết này hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !
CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn
