5 phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Xin chào tất cả các bạn, hôm này mình sẽ hướng dẫn cho các bạn 5 cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, nắm được 5 phương pháp này thì bạn sẽ không phải “ngại” bất kỳ trường hợp nào cả.

Cụ thể thì chúng ta sẽ có: Phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp đồ thị, phương pháp cao cấp (ma trận nghịch đảo, định thức) và phương pháp sử dụng máy tính CASIO.

Trong đó, 3 phương pháp đầu tiên là dành cho học sinh Trung học, phương pháp thứ tư dành cho sinh viên, còn riêng phương pháp sử dụng máy tính CASIO mang tính chất hỗ trợ, kiểm tra kết quả là chính.

I. Định nghĩa về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng $\left\{\begin{array}{ll}ax+by&=c \\ a’x+b’y&=c’\end{array}\right.$

• $x, y$ là 2 ẩn
• $a, b, c, a’, b’, c’$ là các số thực.

Chẳng hạn $\left\{\begin{array}{ll}2x+y&=4 \\ x-y&=-1\end{array}\right.$ là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

#1. Sử dụng phương pháp cộng

Phương pháp này nên sử dụng khi hệ phương trình có $a+a’=0$ hoặc $b+b’=0$

Quan sát hệ phương trình đã cho ta thấy $b+b’=0$ cụ thể $1+(-1)=0$

Lời Giải:

$\left\{\begin{array}{ll}2x+y&=4 \\ x-y&=-1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}3x&=3 \\ x-y&=-1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x&=1 \\ x-y&=-1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x&=1 \\ 1-y&=-1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x&=1 \\ y&=2\end{array}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 2)

#2. Phương pháp thế

• Phương trình có hệ số càng đơn giản thì lúc biểu diễn x theo y hoặc y theo x sẽ càng dễ dàng
• Ẩn nào có hệ số bằng 1 thì ưu tiên biểu diễn ẩn đó theo ẩn còn lại

Đối với hệ phương trình này mình sẽ chọn phương trình thứ nhì $x-y=-1$ và biểu diễn x theo y

Lời Giải:

$\left\{\begin{array}{ll}2x+y&=4 \\ x-y&=-1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}2x+y&=4 \\ x&=-1+y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}2(-1+y)+y&=4 \\ x&=-1+y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}y&=2 \\ x&=-1+y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}y&=2 \\ x&=1 \end{array}\right.$

=> Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 2)

#3. Phương pháp đồ thị

Phương pháp đồ thị chỉ nên sử dụng khi các hệ số là những số nguyên nha các bạn.

Lời Giải:

Gọi hai đường thẳng xác định bởi hai phương trình trong hệ đã cho lần lượt là $(d): 2x+y=4$ và $(d’): x-y=-1$

Vẽ (d) và (d’) trên cùng một hệ trục tọa độ ta thấy chúng cắt nhau tại một điểm $M=(1; 2)$ duy nhất.

Dự đoán (1; 2) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Thay $x=1, y=2$ vào hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}2.1+2&=4 \\ 1-2&=-1\end{array}\right.$

Ta thấy (1; 2) thỏa mãn => Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 2)

#4. Phương pháp cao cấp

Đặt $A=\left(\begin{array}{ll}a&b \\ a’&b’\end{array}\right)$

Phương pháp này chỉ có thể sử dụng khi $|A| \neq 0$

4.1. Ma trận nghịch đảo

Dễ thấy $A=\left(\begin{array}{cc}2&1 \\ 1&-1\end{array}\right)$

Vì $|A|=2(-1)-1.1=-3 \neq 0$ nên A khả nghịch

Ma trận nghịch đảo của ma trận A sẽ bằng $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}&\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{array}\right)$

Suy ra $\left(\begin{array}{}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}&\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{array}\right) \left(\begin{array}{}4\\-1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{}x\\y\end{array}\right) =\left(\begin{array}{}1\\2\end{array}\right)$

=> Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 2)

4.2. Định thức

Dễ thấy $A=\left(\begin{array}{cc}2&1 \\ 1&-1\end{array}\right)$

Vì $|A|=2(-1)-1.1=-3 \neq 0$ nên hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất

• $A_1=\left(\begin{array}{cc}4&1 \\ -1&-1\end{array}\right) \Rightarrow |A_1|=-3$
• $A_2=\left(\begin{array}{cc}2&4 \\ 1&-1\end{array}\right) \Rightarrow |A_2|=-6$

Suy ra $x=\frac{|A_1|}{|A|}=\frac{-3}{-3}=1$ và $y=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-6}{-3}=2$

=> Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 2)

#5. Phương pháp máy tính CASIO fx-580VN X

Bước 1. Chọn phương thức tính toán Equation / Func

Bước 2. Chọn Simul Equation

Bước 3. Nhập số 2

Bước 4. Nhập số các hệ số …

Bước 5. Nhấn phím = => tiếp tục nhấn phím =

=> Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 2)

II. Lời kết

Okay, trên đây là 5 phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn mà mình đã tổng hợp lại.

Tùy thuộc vào hệ phương trình cụ thể mà chúng ta sẽ cân nhắc lựa chọn phương pháp cho phù hợp nhất.

Hi vọng những kiến thức mình chia sẻ trong bài hướng dẫn này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

• 2 cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng CASIO

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com