2 cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Nếu như việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng nằm trên mặt phẳng không có gì khó khăn thì việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng nằm trong không gian lại khá là phức tạp.

Thông thường bạn sẽ cần thực hiện các bước sau:

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng đã cho, tiếp theo tìm giao điểm của đường thẳng vừa viết và đường thẳng đã cho, và cuối cùng là tính khoảng cách giữa giao điểm vừa tìm được với điểm đã cho.

Các bước trên dù không quá phức tạp nhưng nó cũng tốn khá nhiều thời gian và công sức, đặc biệt vì tính toán khá nhiều nên dễ xảy ra sai sót.

Vậy nên hôm nay, mình sẽ hướng dẫn các bạn cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian bằng một cách khác dễ dàng hơn khá nhiều. Cách này chủ yếu dựa vào tích có hướng hoặc máy tính CASIO fx-580VN X.

Đọc thêm:

I. Trường hợp: Điểm và đường thẳng nằm trên mặt phẳng

#1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Tính khoảng cách từ điểm $M_1$ và đường thẳng $(d)$ biết $M_1=(x_1; y_1)$ và đường thẳng $(d): Ax+By+C=0$

$(M_1; (d))=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

#2. Ví dụ minh họa

Tính khoảng cách từ điểm $A=(2; 3)$ đến đường thẳng $(d): 2x+3y+5=0$[/toggle]

cach-tinh-khoang-cach-tu-mot-diem-den-mot-duong-thang (1)

Lời Giải:

Áp dụng công thức $\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ ta được $\frac{|2.2+3.3+5|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{18\sqrt{13}}{13} \approx 5$

=> Vậy khoảng cách từ điểm $A=(2; 3)$ đến đường thẳng $(d): 2x+3y+5=0$ gần bằng 5 ĐVĐD

II. Trường hợp: Điểm và đường thẳng nằm trong không gian

#1. Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Tính khoảng cách từ điểm $M_1=(x_1; y_1; z_1)$ đến đường thẳng $(d): \frac{x-x_0}{p}=\frac{y-y_0}{q}=\frac{z-z_0}{r}$

$\frac{\sqrt{[(y_{1}-y_{0}).r-q.(z_{1}-z_{0})]^{2}+[(z_{1}-z_{0}).p-r(x_{1}-x_{0})]^{2}+[(x_{1}-x_{0}).q-p(y_{1}-y_{0})]^{2}}}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}$

cach-tinh-khoang-cach-tu-mot-diem-den-mot-duong-thang (2)

#2. Cách chứng minh

Dễ thấy đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M_0=(x_0; y_0; z_0)$ và có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(p; q; r)$

$\overrightarrow{M_0M_1}$ và $\vec{u}= \overrightarrow{M_0I}$ tạo thành một hình bình hành có diện tích S

cach-tinh-khoang-cach-tu-mot-diem-den-mot-duong-thang (3)

$h=M_1H=\frac{S}{|\overrightarrow{M_0I}|}=\frac{|[\overrightarrow{M_0M_1}; \vec{u}]|}{|\vec{u}|}$

#3. Ví dụ minh họa

Tính khoảng cách từ điểm $A=(1; 5; 4)$ đến đường thẳng $(d):\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{3}$

cach-tinh-khoang-cach-tu-mot-diem-den-mot-duong-thang (4)

Lời Giải:

Dễ thấy đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M_0=(1; 1; 0)$ và có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(-2; 1; 3)$

Suy ra $\overrightarrow{M_0A}=(0; 4; 4)$

Tích có hướng của $\overrightarrow{M_0A}$ và $\vec{u}$ bằng $(8; -8; 8)$

Độ dài tích có hướng của $\overrightarrow{M_0A}$ và $\vec{u}$ bằng $\sqrt{(8)^2+(-8)^2+(8)^2}=8\sqrt{3}$

Độ dài $\vec{u}$ bằng $\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(3)^2}=\sqrt{14}$

=> Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $(d)$ là $\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{14}}= \frac{4\sqrt{42}}{7}\approx 3.7$

#4. Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng CASIO fx-580VN X

Bước 1. Chọn phương thức tính toán Vector

cach-tinh-khoang-cach-tu-mot-diem-den-mot-duong-thang (5)

Bước 2. Lần lượt gán $\overrightarrow{M_0A}, \vec{u}$ cho VctA, VctB

cach-tinh-khoang-cach-tu-mot-diem-den-mot-duong-thang (6)

cach-tinh-khoang-cach-tu-mot-diem-den-mot-duong-thang (7)

Bước 3. Tích tích có hướng của $\overrightarrow{M_0A}$ và $\vec{u}$

cach-tinh-khoang-cach-tu-mot-diem-den-mot-duong-thang (8)

Bước 4. Tính khoảng cách theo công thức (Abs(VctAns))⨼(Abs(VctB))

cach-tinh-khoang-cach-tu-mot-diem-den-mot-duong-thang (9)

Chú ý là phím phân số

III. Lời kết

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng nằm trong không gian (ý mình là tính trực tiếp ý) tuy là có, nhưng quá phức tạp và rất khó nhớ. Bạn chỉ có thể nhớ được khi bạn có trí nhớ rất rất tốt.

Vậy nên thay vì cố gắng nhớ một cách máy móc bạn hãy xem phần #2 trong mục II (cách chứng minh) để biết cách mà mình đã dùng để xây dựng công thức, từ đó việc ghi nhớ công thức cũng dễ dàng hơn.

Trong quá trình áp dụng nếu là …

  • Tự luận thì bạn có thể dựa vào nội dung trong mục con phần #2 trong mục II (cách chứng minh) hoặc phần #3 trong mục II (ví dụ minh họa) để trình bày theo.
  • Trắc nghiệm thì bạn hãy áp dụng công thức hoặc thủ thuật tính nhanh bằng máy tính CASIO fx-580VN X nhé.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

Bài viết đạt: 5/5 sao - (Có 1 lượt đánh giá)
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !

Administrator: Kiên Nguyễn

Có một câu nói của người Nhật mà mình rất thích đó là " Người khác làm được thì mình cũng làm được ". Chính vì thế mà hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn ! Nếu như bạn đang gặp khó khăn và cần sự trợ giúp thì hãy comment phía bên dưới mỗi bài viết để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng Blog Chia Sẻ Kiến Thức nhé.

Một vài lưu ý trước khi comment :

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *
Tất cả các comment của các bạn sẽ được giải đáp trong vòng 48h !
Không được sử dụng từ khóa trong ô 'Name', bạn hãy dùng tên thật hoặc Nickname của bạn !
Không dẫn link sang trang web/blog khác. Xem quy định comment tại đây. Thank All!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *