Công thức lũy thừa, khai căn và Lôgarit đáng nhớ

Xin chào tất cả các bạn !

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau hệ thống lại các công thức lũy thừa, khai căn và lôgarit của toàn bộ chương trình Toán học Trung học.

Phép tính lũy thừa và phép tính khai căn được gọi là phép tính đại số, phép tính lôgarit được gọi là phép tính siêu việt.

#1. Công thức lũy thừa và khai căn

Phép lũy thừa và phép tính khai căn đã được học ngay từ những năm Trung học cơ sở..

Dưới đây là các công thức công thức lũy thừa và khai căn thường được sử dụng trong chương trình Toán học Trung học…

1.1. Công thức lũy thừa

Lúc này chúng ta có các công thức như sau:

• $a^{-\alpha}=\frac{1}{a^\alpha}=\left(\frac{1}{a}\right)^\alpha$
• $a^0=1$
• $1^\alpha=1$

+) Với $n$ là một số tự nhiên khác $0$ chúng ta có công thức $\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}$

+) Với $n$ là một số tự nhiên khác $0$, $m$ là một số nguyên bất kỳ chúng ta có công thức $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

$a^\alpha b^\beta=a^{\alpha+\beta}$

$\frac{a^{\alpha}}{a^\beta}=a^{\alpha-\beta}$

$(ab)^\alpha=a^\alpha b^\alpha$

$\left(\frac{a}{b}\right)^\alpha=\frac{a^\alpha}{b^\alpha}$

$(a^\alpha)^\beta=a^{\alpha\beta}$

Khi cần so sánh các biểu thức lũy thừa có cùng cơ số chúng ta cần chú ý đến giá trị của cơ số với số $1$

• Nếu $a>1$ thì $a^\alpha > a^\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta$
• Nếu $0<a<1$ thì $a^\alpha>a^\beta \Leftrightarrow \alpha < \beta$

1.2. Công thức khai căn

Lúc này chúng ta có các công thức …

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

$\sqrt[n]{a^p}=(\sqrt[n]{a})^p$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}$

#2. Công thức lôgarit

Phép tính lô-garit là một trong những phép tính quan trọng, có nhiều ứng dụng trong Toán học và thực tiễn.

Dưới đây là các công thức lôgarit thường được sử dụng trong chương trình Toán học Trung học..

2.1. Công thức Lôgarit?

Cho $a$ là một số dương khác $1$ và $b$ là một số dương.

Lúc bấy giờ số thực $\alpha$ để $a^\alpha=b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$

Người ta thường ký hiệu lôgarit cơ số $a$ của $b$ là $\log _a b$

$\alpha=\log _a b \Leftrightarrow a^\alpha=b$

2.2. Điều kiện để biểu thức Logarit xác định

Biểu thức $\log_ab$ có nghĩa (được xác định) khi và chỉ khi $a$ khác $1$, $a$ dương, $b$ dương.

Tất cả các công thức được trình bày bên dưới đều đi kèm với điều kiện:

• $a$ khác $1$
• $a, b, c$ dương
• $\alpha$ là một số thực bất kỳ..
• $n$ là một số tự nhiên khác $0$

Những công thức nào cần có thêm các điều kiện khác thì mình sẽ bổ sung ngay trước công thức đó.

2.3. Một số đồng nhất thức đáng nhớ

Trước hết chúng ta hãy cùng nhau điểm qua bốn đồng nhất thức đáng nhớ nhất cũng như thường được sử dụng nhất trong học tập, kiểm tra và thi cử.

$\log_a1=0$

$a^{\log_ab}=b$

$\log_aa=1$

$\log_a a^b=b$

2.4. Lôgarit của tích và thương

$\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac$

$\log_a \frac{b}{c}=\log_ab-\log_ac$

2.5. Lôgarit của lũy thừa

$\log_ab^\alpha=\alpha \log_ab$

Với $\alpha$ khác $0$ chúng ta có công thức $\log_{a^\alpha}b=\frac{1}{\alpha}\log_ab$

2.6. Đổi cơ số

Với $c$ khác $1$ và $c$ dương chúng ta có công thức $\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$

Với $b$ khác $1$ và $b$ dương chúng ta có công thức $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$

Với $c$ khác $1$ và $c$ dương chúng ta có công thức $\log_ab=\log_ac \log_cb$

2.7. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số $10$ của một số dương $b$ được gọi là lôgarit thập phân của $b$ và người ta thường ký hiệu là $\log_{}b$

Dễ thấy $\log_{10}b=\log_{}b$

Lôgarit cơ số $e$ của một số dương $b$ được gọi là  lôgarit tự nhiên của $b$ và người ta thường ký hiệu là $\ln_{}b$

Dễ thấy $\log_{e}b=\ln_{}b$

#3. Lời kết

Vâng, trên đây là các công thức tính lũy thừa, công thức khai căn và công thức Lôgarit đáng nhớ nhất.

Khi cần tính/rút gọn các phép tính/biểu thức lũy thừa, khai căn và lôgarit ngoài việc sử dụng các công thức vừa trình bày chúng ta còn có thể sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ…

Cụ thể:

• Sử dụng các phím $x^{\square}$, $\sqrt[^\square]{\square}$, $\log_\square \square$ để tính trực tiếp kết quả của phép tính lũy thừa, khai căn và lôgarit
• Sử dụng tính năng Verify để kiểm tra kết quả sau khi thực hiện thao tác rút gọn các biểu thức lũy thừa, khai căn và Lôgarit…

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn