Blog Chia Sẻ Kiến Thức Máy tính – Công nghệ & Cuộc sống
Xin chào tất cả các bạn !
Để tiếp nối mạch kiến thức về giải tích thì hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về vi phân ha.
Cụ thể là kiến thức về vi phân của hàm số tại một điểm, ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng, vi phân của hàm số và tổng hợp công thức tính vi phân của các hàm số thường gặp.
Mục Lục Nội Dung
#1. Vi phân của hàm số tại một điểm
Tích $f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x$ được gọi là vi phân của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ ứng với số gia $\Delta x$ và được kí hiệu là $df\left(x_0\right)$
$df\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x$
Ví dụ 1. Tính vi phân của hàm số $f(x)=\sin x$ tại điểm $x_0=\frac{\pi}{3}$
Lời giải:
$df\left(\frac{\pi}{3}\right)=f^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \Delta x=\cos \frac{\pi}{3} \cdot \Delta x=\frac{1}{2} \cdot \Delta x$
#2. Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng
Từ công thức $\Delta y \approx f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x$ và định nghĩa vi phân của hàm số tại một điểm thì chúng ta thấy…
… khi $|\Delta x|$ khá nhỏ thì số gia của hàm số tại điểm $x_0$ ứng với số gia $\Delta x$ xấp xỉ bằng vi phân của hàm số tại $x_0$ ứng với số gia $\Delta x$
Hay nói cách khác, $f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right) \approx f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x$
Lúc này, chúng ta có công thức $f\left(x_0+\Delta x\right) \approx f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x$
Công thức vừa trình bày cho phép chúng ta tính xấp xỉ giá trị của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0+\Delta x$ khi việc tính các giá trị $f\left(x_0\right)$ và $f^{\prime}\left(x_0\right)$ là khá đơn giản.
Ví dụ 2. Tính giá trị của $\sin 15^{\circ} 30^{\prime}$ làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư.
Lời giải:
Vì $15^{\circ} 30^{\prime}=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{360}$ nên chúng ta sẽ xét hàm số $f(x)=\sin x$ tại điểm $x_0=\frac{\pi}{12}$ với số gia $\Delta x=\frac{\pi}{360}$
Áp dụng công thức $f\left(x_0+\Delta x\right) \approx f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x$ chúng ta được:
$f\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{360}\right) \approx f\left(\frac{\pi}{12}\right)+f^{\prime}\left(\frac{\pi}{12}\right) \cdot \frac{\pi}{360}$
Hay $\sin \left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{360}\right) \approx \sin \frac{\pi}{12}+\left(\cos \frac{\pi}{12}\right) \frac{\pi}{360} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{\pi}{360} \approx 0,2672$
Vậy => $\sin 15^{\circ} 30^{\prime} = \sin \left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{360}\right) \approx 0,2672$
#3. Vi phân của hàm số là gì?
Nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f(x)^{\prime}$ thì tích $f^{\prime}(x) \Delta x$ gọi là vi phân của hàm số $y=f(x)$
Người ta thường kí hiệu vi phân của hàm số $y=f(x)$ là $d f(x)=f^{\prime}(x) \Delta x$
 |
 |
| Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki] |
CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada] |
Đặc biệt với hàm số $y=x$ chúng ta còn có $dx=(x)’\Delta x=\Delta x$
Vì vậy chúng ta có có thể viết $df(x)=f^{\prime}(x) \Delta x$ dưới dạng $df(x)=f^{\prime}(x)dx$ hay $dy=y^{\prime}dx$
#4. Tổng hợp công thức tính vi phân của các hàm số thường gặp
| $d(C)=0$ | $d\left(x^n\right)=n x^{n-1} dx$ |
| $d(\sqrt{x})=\frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ | $d\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{dx}{x^2}$ |
| $d\left(e^x\right)=e^x dx$ | $d\left(a^x\right)=a^x \cdot \ln a \cdot dx$ |
| $d(\sin x)=\cos x \cdot dx$ | $d(\cos x)=-\sin x \cdot dx$ |
| $d(\ln x)=\frac{dx}{x}$ | $d\left(\log _a x\right)=\frac{dx}{x \cdot \ln a}$ |
| $d(\tan x)=\frac{dx}{\cos ^2 x}$ | $d(\cot x)=\frac{-dx}{\sin^2 x}$ |
| $d(\arccos x)=\frac{-dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $d(\arctan x)=\frac{dx}{1+x^2}$ | d(arccot x)$=\frac{-dx}{1+x^2}$ |
| $d(C u)=C du$ | $d(u \cdot v)=u dv+v du$ |
| $d(u \pm v)=du \pm dv$ | $d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v du-u dv}{v^2}$ |
#5. Lời kết
Vâng, trên đây là những công thức vi phân của hàm số thường gặp nhất.
Một trong những ứng dụng tiêu biểu của vi phân là tính gần đúng giá trị của hàm số tại một điểm..
Tuy nhiên trong thực hành, không phải lúc nào chúng ta cũng tính được một cách dễ dàng như vậy, mà thông thường, muốn tính được dễ dàng thì hàm số và điểm cần tính phải có gì đó đặc biệt.
Nếu không thì việc tính gần đúng cũng khá là khó khăn và tốn nhiều thời gian, lúc bấy giờ hãy tính bằng máy tính cầm Casio tay các bạn nha.
Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !
CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn
