Bất đẳng thức là gì? 5 bất đẳng thức đáng nhớ nhất

Xin chào tất cả các bạn !

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại các kiến thức cơ bản về các bất đẳng thức đáng nhớ nhất.

Đầu tiên, mình sẽ trình bày khái niệm, tiếp theo là các (tính chất, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức mang tên nhà Toán học, bất đẳng thức trung bình nhân – trung bình cộng – trung bình toàn phương) và sau cùng là thực hành chứng minh bất đẳng thức.

Okay, let’s go…

I. Bất đẳng thức là gì?

Cho hai số thực $a$ và $b$

Lúc này, các mệnh đề $a>b$, $a<b$, $a \geq b$, $a \leq b$ được gọi là các bất đẳng thức (tên tiếng anh: inequality).

Hay nói cách khác: Một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng (trong đó, hai đối tượng là các biểu thức chứa các số và các phép toán).

Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc có thể sai !

Việc chứng minh bất đẳng thức là chứng minh tính đúng đắn của bất thức đó.

NOTE:
Biểu thức nằm bên trái của dấu bất đẳng thức thì được gọi là vế trái, còn biểu thức nằm phía bên phải của dấu bất đẳng thức thì được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

II. Tính chất của bất đẳng thức

Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

+) $a < b \Leftrightarrow a + c < b + c$

+) $\left\{\begin{array}{} a<b \\ b<c \end{array}\right. \Rightarrow a < c$, $\left\{\begin{array}{} a>b \\ b>c \end{array}\right. \Rightarrow a > c$

+) $\left\{\begin{array}{} a<b \\ c>0 \end{array}\right. \Leftrightarrow ac < bc$, $\left\{\begin{array}{} a<b \\ c<0 \end{array}\right. \Leftrightarrow ac > bc$

+) $\left\{\begin{array}{} a<b \\ c<d \end{array}\right. \Rightarrow a+c < b+d$,  $\left\{\begin{array}{} a>b \\ c<d \end{array}\right. \Rightarrow a-c > b-d$

+) $\left\{\begin{array}{} a>b>0 \\ c>d>0 \end{array}\right. \Rightarrow ac > bd$

+) $\left[\begin{array}{} a>b>0 \\ 0>a>b \end{array}\right. \Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

+) Với mọi $n$ khác $0$ chúng ta có $a<b \Leftrightarrow a^{2n+1}<b^{2n+1}$

+) Với mọi $n$ khác $0$ chúng ta có $0<a<b \Rightarrow a^{2n}<b^{2n}$

+) $0<a<b \Leftrightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}$

+) $a<b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$

Ý nghĩa của các ký hiệu:

• Ngoặc $\{$ có nghĩa là và
• Ngoặc $[$ có nghĩa là hoặc
• Kí hiệu $\Rightarrow$ có nghĩa là có vế trái suy ra vế phải
• Kí hiệu $\Leftrightarrow$ có nghĩa là có vế trái suy ra vế phải và ngược lại, có vế phải suy ra vế trái. Hay còn còn là dấu tương đương !

#1. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dựa vào định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối chúng ta có thể dễ dàng suy ra các tính chất:

$|x| \geq 0$, $|x| \geq x$, $|x| \geq -x$

Với mọi $a$ không âm chúng ta có $|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$

Với mọi $a$ không âm chúng ta có $|x| \geq a \Leftrightarrow \left[\begin{array}{} x \leq -a \\ x \geq a \end{array}\right.$

$|a|-|b| \leq |a+b| \leq |a|+|b|$, $|a|-|b| \leq |a-b| \leq |a|+|b|$

#2. Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) 

Bất đẳng thức Cô-si là một trong những bất đẳng thức thường gặp trong chương trình Toán học Phổ thông.

Với hai số $a, b$ không âm chúng ta có $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

Với ba số $a, b, c$ không âm chúng ta có $\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Trường hợp tổng quát:

#3. Bất đẳng thức Bu nhia cốp xki (Bunhiacopxki)

Tương tự như bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức Bu nhia cốp xki cũng là một trong những bất đẳng thức thường gặp trong chương trình Toán học Phổ thông.

Bất đẳng thức Bu nhia cốp xki còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.

Với hai bộ số $(a_1, a_2)$ và $(b_1, b_2)$ bất kỳ chúng ta luôn có $(a_1b_1+a_2b_2)^2 \leq (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi tồn tại $k$ sao cho $a_i=kb_i$ với $i=\{1, 2\}$

Trường hợp tổng quát:

Với hai bộ $n$ số $(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n)$ và $(b_1, b_2, b_3, \dots, b_n)$ bất kỳ chúng ta luôn có:

$(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+ \dots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots + a_n^2)( b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + \dots + b_n^2)$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi tồn tại $k$, sao cho $a_i=kb_i$ với $i=\{1, 2, 3, \dots, n\}$

Nếu $b_i$ khác $0$ với mọi $i$ thì $a_i=kb_i$ được viết thành $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3} = \dots = \frac{a_n}{b_n}$

#4. Bất đẳng thức Béc nu li

Với $a>-1$ chúng ta luôn có $(1+a)^n \geq 1+na$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=0$ hoặc $n=1$

#5. Bất đẳng thức trung bình nhân, trung bình cộng và trung bình toàn phương

Với $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ không âm chúng ta luôn có $\sqrt[n]{ a_1a_2a_3 \dots a_n } \leq \frac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n} \leq \sqrt[n]{\frac{ a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2}{n}}$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=a_3= \dots =a_n$

II. Bài tập chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b+c)^2 \leq 3\left(a^2+b^2+c^2\right)$ $(*)$

Lời giải:

(*) $\Leftrightarrow 3\left(a^2+b^2+c^2\right)-(a+b+c)^2 \geq 0$ (chuyển vế)

(*) $\Leftrightarrow 3a^2+3b^2+3c^2-(a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2) \geq 0$ (khai triển hằng đẳng thức)

(*) $\Leftrightarrow 3a^2+3b^2+3c^2-a^2-2ab-2ac-b^2-2bc-c^2 \geq 0$ (bỏ ngoặc đổi dấu)

(*) $\Leftrightarrow 2 a^2-2 a b-2 a c+2 b^2-2 b c+2 c^2 \geq 0$ (rút gọn)

(*) $\Leftrightarrow 2\left(a-\frac{1}{2} b-\frac{1}{2} c\right)^2+2 b^2-2 b c+2 c^2-\frac{1}{8}(-2 b-2 c)^2 \geq 0$ (đưa vào hằng đẳng thức)

(*) $\Leftrightarrow 2\left(a-\frac{1}{2} b-\frac{1}{2} c\right)^2+\frac{3}{2}(b-c)^2 \geq 0$ (đưa vào hằng đẳng thức).

III. Lời kết

Vâng, trên đây là 5 bất đẳng thức mà bạn nên thuộc để quá trình giải bài tập được trở nên dễ dàng hơn.

Các bất đẳng thức mà mình vừa trình bày ở trên đều là các bất đẳng thức cơ bản nhất, thường gặp nhất trong chương trình Toán học Trung học.

Muốn chứng minh được bất đẳng thức thì công việc đầu tiên bạn cần thực hiện đó là học thuộc lòng các bất đẳng thức được trình bày trong bài viết này.

Okay. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo nha !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn