Cách khai căn bậc n của số phức và bài tập ví dụ

Xin chào tất cả các bạn !

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách khai căn bậc n của một số phức bất kỳ nhé.

Việc khai căn bậc n của số phức dưới dạng đại số khá phức tạp, đặc biệt khi cần khai căn bậc ba, căn bậc bốn, căn bậc năm, …

Vậy nên trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này chúng ta chỉ tìm hiểu cách khai căn bậc n của số phức dưới dạng lượng giác nha các bạn.

Khi cần khai căn bậc n số phức dưới dạng đại số thì bạn hãy chuyển nó sang dạng lượng giác trước khi giải.

#1. Định nghĩa căn bậc n của số phức w

Chúng ta gọi số phức $z$ sao cho $z^n=w$ là một căn bậc $n$ của số phức $w$ với $n$ là số nguyên cho trước và $n>1$

Khi $w \neq 0$ chúng ta viết $w$ dưới dạng lương giác $w=R(\cos \alpha+i \sin \alpha)$ với $R>0$

Lúc này chúng ta cần tìm $z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$ với $r>0$ sao cho $z^n=w$

Theo công thức Moa vrơ $z^n=w$ hay $r^n(\cos n \varphi+i \sin n \varphi)$ $=R(\cos \alpha+i \sin \alpha)$

Suy ra $r^n=R$ và $n \varphi=\alpha+k 2 \pi$ với $k \in \mathbb{Z}$ hay $r=\sqrt[n]{R}$ và $\varphi=\frac{\alpha+k 2 \pi}{n}$

Vậy $z=\sqrt[n]{R}\left[\cos \left(\frac{\alpha}{n}+\frac{k 2 \pi}{n}\right)+i \sin \left(\frac{\alpha}{n}+\frac{k 2 \pi}{n}\right)\right]$ với $k=0,1, \ldots, n-1$

Về phương diện hình học tọa độ nếu $w \neq 0$ thì các căn bậc $n$ với $n \geq 3$ cho trước của $w$ được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh của một $n$ giác đều nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $\sqrt[n]{|w|}$

#2. Các bước khai căn bậc n của số phức

#3. Bài tập khai căn bậc n của số phức

Chẳng hạn mình cần khai căn bậc ba của số phức $1+i$ thì mình sẽ thực hiện tuần tự theo các bước bên dưới:

Lời giải:

Đặt $z=1+i$

Số phức $z$ có dạng lượng giác là $r(\cos \varphi+i \sin \varphi)$

$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Lúc này số phức $z=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)$

Dễ thấy $r=\sqrt{2}$ và $\varphi$ là nghiệm của hệ hai phương trình một ẩn $\left\{\begin{array}{l}\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.$

Suy ra $\varphi=\frac{\pi}{4}$ thỏa mãn hệ phương trình.

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

Vậy dạng lượng giác của số phức $1+i$ là $\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)$

Áp dụng công thức $z=\sqrt[n]{R}\left[\cos \left(\frac{\alpha}{n}+\frac{k 2 \pi}{n}\right)+i \sin \left(\frac{\alpha}{n}+\frac{k 2 \pi}{n}\right)\right]$ với $k=0,1, \ldots, n-1$ chúng ta được:

$\sqrt[3]{\sqrt{2}}\left[\cos \left(\frac{\frac{\pi}{4}}{3}+\frac{k 2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\frac{\pi}{4}}{3}+\frac{k 2 \pi}{3}\right)\right]$ với $k=0, 1, 2$

Thu gọn chúng ta được $\sqrt[6]{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{12}+\frac{k 2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{12}+\frac{k 2 \pi}{3}\right)\right]$ với $k=0, 1, 2$

Vậy ba căn bậc ba của số phức $1+i$ lần lượt là:

$\sqrt[6]{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)\right]$

$\sqrt[6]{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{12}+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{12}+\frac{2 \pi}{3}\right)\right]$

$\sqrt[6]{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{12}+\frac{4\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{12}+\frac{4\pi}{3}\right)\right]$

#4. Khai căn bậc n của số phức bằng công cụ trực tuyến Wolfram Alpha

Chẳng hạn mình cần khai căn bậc ba của số phức $1+i$ thì thực hiện tuần tự theo các bước bên dưới:

Bước 1. Truy cập vào công cụ Wolfram Alpha bằng cách nháy chuột vào liên kết sau:

https://www.wolframalpha.com/

Bước 2. Nhập all 3rd roots of 1+1I

Trong đó:

• 3rd là căn bậc ba
• 1+1I là số phức

Bước 3. Nhấn phím Enter => chọn Polar form => chọn Trigonometric form

Bước 4. Quan sát kết quả

#5. Lời kết

Vâng, như vậy là mình đã hướng dẫn xong cho bạn cách khai căn bậc n của số phức rồi nhé.

Mấu chốt để các bạn khai được căn bậc n của số phức là chuyển được nó sang dạng lượng giác và thuộc được công thức $z=\sqrt[n]{R}\left[\cos \left(\frac{\alpha}{n}+\frac{k 2 \pi}{n}\right)+i \sin \left(\frac{\alpha}{n}+\frac{k 2 \pi}{n}\right)\right]$ với $k=0,1, \ldots, n-1$

Cách chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác đã được mình hướng dẫn chi tiết, các bạn nhớ tìm đọc.

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn