Tích phân là gì? 2 cách tính tích phân đơn giản nhất

Xin chào tất cả các bạn !

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách tính tích phân của một vài hàm số thường gặp.

Để hiểu được bài viết này bạn nên xem lại bài viết tổng hợp các công thức nguyên hàm của các hàm số thường gặp.

Tìm được nguyên hàm thì việc tìm tích phân sẽ rất chi là đơn giản, chỉ việc thay cận vào và thực hiện phép tính trừ là xong.

I. Tích phân là gì?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ và $a, b$ là hai số bất kỳ thuộc $K$

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì hiệu số $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân của $f(x)$ từ $a$ đến $b$

Ký hiệu tích phân của $f(x)$ từ $a$ đến $b$ là $\int_a^b f(x) dx$

Trong trường hợp đặc biệt khi $a<b$ chúng ta gọi $\int_a^b f(x) dx$ là tích phân của $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$

Hiệu số $F(b)-F(a)$ còn được ký hiệu là $\left.F(x)\right|_a ^b$

Lúc này, nếu như $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì $\int_a^b f(x) dx=\left.F(x)\right|_a ^b$

Người ta gọi:

• Hai số $a, b$ là hai cận của tích phân. Số $a$ là cận dưới. Số $b$ là cận trên.
• $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân
• $f(x) dx$ là biểu thức dưới dấu tích phân.
• Và $x$ là biến số lấy tích phân.

Đối với biến số lấy tích phân chúng ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho $x$

Chẳng hạn, nếu chúng ta chọn sử dụng chữ $t$, chữ $u$ làm biến số lấy tích phân thì $\int_a^b f(t) dt, \int_a^b f(u) du$ đều là một số và số đó bằng $F(b)-F(a)$

Ví dụ 1. Tính $\int_3^5 \frac{1}{x} dx$

Lời giải

$\int_3^5 \frac{1}{x} dx=\left.\ln (|x|)\right|_3 ^5=\ln 5-\ln 3=\ln \frac{5}{3}$

II. Tính chất cơ bản của tính phân

Dưới đây là các tính chất cơ bản của tích phân mà chúng ta nên biết:

Giả sử các hàm số $f(x), g(x)$ liên tục trên $K$ và $a, b, c$ là ba số bất kì thuộc $K$

Lúc này chúng ta có …

$\int_a^a f(x) dx=0$

$\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx$

$\int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx=\int_a^c f(x) dx$

$\int_a^b[f(x)+g(x)] dx=\int_a^b f(x) dx+\int_a^b g(x) dx$

Với $k \in \mathbb{R}$ chúng ta có công thức $\int_a^b k f(x) dx=k \int_a^b f(x) dx$

Ví dụ 2. Cho $\int_1^3 f(x) dx=-2$ và $\int_1^3 g(x) dx=3$ hãy tính $\int_1^3[3 f(x)-g(x)] dx$

Lời giải:

$\int_1^3[3 f(x)-g(x)] dx=3 \int_1^3 f(x) dx-\int_1^3 g(x) dx=3 \cdot(-2)-3=-9$

III. Cách tính tích phân đơn giản nhất

Tương tự nguyên hàm, phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần cũng là hai phương pháp được sử dụng nhiều nhất.

#1. Phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức $\int_a^b f[u(x)] u^{\prime}(x) dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u) du$

Trong đó:

• Hàm số $u=u(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$
• Hàm số $y=f(u)$ liên tục và sao cho hàm hợp $f[u(x)]$ xác định trên $K$
• $a$ và $b$ là hai số thuộc $K$

$\int_a^b f[u(x)] u^{\prime}(x) dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u) du$ được gọi là công thức đổi biến số

Phương pháp đối biến số thường được áp dụng theo hai cách bên dưới

Cách 1. Giả sử chúng ta cần tính $\int_a^b g(x) dx$

Lúc này nếu chúng ta viết được $g(x)$ dưới dạng $f[u(x)] u^{\prime}(x)$ thì theo công thức đổi biến chúng ta có $\int_a^b g(x) dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u) du$

Vậy việc tính $\int_a^b g(x) dx$ đã quy về việc tính $\int_{u(a)}^{u(b)} f(u) du$

Ví dụ 3. Tính $\int_1^2 x e^{x^2} dx$

Lời giải:

Chúng ta có $x e^{x^2} dx=\frac{1}{2}e^{x^2} d\left(x^2\right)$

Đặt $u=x^2$ chúng ta lại có $u(1)=1, u(2)=4$

Suy ra $\int_1^2 xe^{x^2} dx=\int_1^4 \frac{e^u}{2} du=\frac{1}{2}\left(e^4-e\right)$

Cách 2. Giả sử chúng ta cần tính $\int_\alpha^\beta f(x) dx$

Đặt $x=x(t)$ $(t \in K)$ và $a, b \in K$ thoả mãn $\alpha=x(a), \beta=x(b)$ thì theo công thức đổi biến số chúng ta được $\int_\alpha^\beta f(x) dx=\int_a^b f[x(t)] x^{\prime}(t) dt$

Vậy việc tính $\int_\alpha^\beta f(x) dx$ đã quy về tính $\int_a^b g(t) dt$ với $g(t)=f[x(t)] \cdot x^{\prime}(t)$

Ví dụ 4. Tính $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$

Lời giải:

Đặt $x=\sin t$

Lúc bấy giờ chúng  ta có $dx=d(\sin t)=\cos t dt, 0=\sin 0$ và $1=\sin \frac{\pi}{2}$

Suy ra $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin ^2 t} \cdot \cos t dt$

Vì $t \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ nên $\sqrt{1-\sin ^2 t}=\cos t$

Suy ra $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$

$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 t dt$

$=\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 t) dt$

$=\left.\frac{1}{2}\left(t+\frac{\sin 2 t}{2}\right)\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}}$

$=\frac{\pi}{4}$

#2. Phương pháp tích phân từng phần

Nền tảng của phương pháp này là công thức $\int_a^b u(x) v^{\prime}(x) dx=\left.(u(x) v(x))\right|_a ^b-\int_a^b v(x) u^{\prime}(x) dx$

Trong đó các hàm số $u, v$ có đạo hàm liên tục trên $K$ và $a, b$ là hai số thuộc $K$

Công thức vừa trình bày được gọi là công thức tích phân từng phần và còn được viết dưới dạng $\int_a^b u dv=\left.(u v)\right|_a ^b-\int_a^b v du$

Ví dụ 5. Tính $\int_0^1 x e^x dx$

Lời giải:

Chọn $u(x)=x, v^{\prime}(x)=e^x$

Lúc bấy giờ $u^{\prime}(x)=1, v(x)=e^x$

Suy ra $\int_0^1 x e^x dx=\left.\left(x e^x\right)\right|_0 ^1-\int_0^1 e^x dx=e-(e-1)=1$

IV. Lời kết

Thay cho lời kết mình xin giới thiệu đến các bạn tính năng tính tích phân trên máy tính cầm tay CASIO fx 580 VN X

Phím cho phép chúng ta tính được tích phân của một hàm số bất kỳ một cách chính xác và nhanh chóng.

Công việc của bạn chỉ cần nhập hàm số dưới dấu tích phân, cận trên, cận dưới và nhấn phím  là xong

Tuy nhiên, khi sử dụng tính năng này bạn cần chú ý cài đặt đơn vị góc là rađian khi hàm số dưới dấu tích phân là các hàm số lượng giác $\sin, \cos, \tan, \cot$

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn