Blog Chia Sẻ Kiến Thức Máy tính – Công nghệ & Cuộc sống
Xin chào tất cả các bạn !
Đạo hàm là một trong những mạch kiến thức quan trọng nhất của Giải tích, không có đạo hàm thì không có vi phân, nguyên hàm và tích phân…
Vậy nên hôm nay mình sẽ tổng hợp lại toàn bộ các công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp nhất nha các bạn.
Ngoài ra, mình cũng trình bày thêm với các bạn về định nghĩa đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa, mối quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại của đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm, cũng như ý nghĩa vật lý của đạo hàm..
Mục Lục Nội Dung
- #1. Đạo hàm là gì?
- #2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa
- #3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm
- #4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- #5. Ý nghĩa Vật Lý của đạo hàm
- #6. Quy tắc tính đạo hàm của tổng hiệu tích thương
- #7. Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp
- #8. Công thức tính đạo hàm của một số hàm thường gặp
- #9. Tính đạo hàm tại một điểm của một hàm số bất kỳ bằng máy tính Casio
- #10. Lời kết
#1. Đạo hàm là gì?
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a, b)$:
$x_0 \in (a, b)$
$x_0+\Delta x \in (a, b)$
Lúc này, nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của $f(x)$ tại $x_0$
Ký hiệu đạo hàm của $f(x)$ tại $x_0$ là $f^{\prime}\left(x_0\right)$ hoặc $y'(x_0)$
$f’\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
#2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Với $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$ tính $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$
Bước 2. Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Bước 3. Tính $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
Trong định nghĩa và quy tắc vừa trình bài nếu thay $x_0$ bởi $x$ thì chúng ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x \in(a, b)$
#3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm
$f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ suy ra $f(x)$ liên tục tại $x_0$
$f(x)$ liên tục tại $x_0$ không phải bao giờ cũng suy ra được $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$
#4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Nếu tồn tại $f^{\prime}\left(x_0\right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $M_0\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ thì…
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M_0$ là: $y-y_0=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$
#5. Ý nghĩa Vật Lý của đạo hàm
$v(t)=s^{\prime}(t)$ là vận tốc tức thời của chuyển động $s=s(t)$ tại thời điểm $t$
#6. Quy tắc tính đạo hàm của tổng hiệu tích thương
$(u+v-w)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}-w^{\prime}$
$(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$
Với $k$ là một hằng số bất kỳ chúng ta có $(k u)^{\prime}=k u^{\prime}$
Với $v$ khác $0$ chúng ta có $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2}$
Với $v$ khác $0$ chúng ta có $\left(\frac{1}{v}\right)^{\prime}=-\frac{v^{\prime}}{v^2}$
#7. Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp
Cho hàm số hợp $y=f[u(x)]$ lúc bấy giờ $y^{\prime}=u_{(x)}^{\prime} \cdot f^{\prime}[u(x)]$
#8. Công thức tính đạo hàm của một số hàm thường gặp
| Hàm số $y=f(x)$ | Đạo hàm $y’$ |
| $y=C$ | $y^{\prime}=0$ |
| $y=x^{\prime}$ | $y^{\prime}=n x^{n-1}$ |
| $y=\sqrt{x}$ | $y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ |
| $y=\frac{1}{x}$ | $y^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$ |
| $y=\sin x$ | $y^{\prime}=\cos x$ |
| $y=\cos x$ | $y^{\prime}=-\sin x$ |
| $y=\tan x$ | $y^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}$ |
| $y=\cot x$ | $y^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^2 x}$ |
| $y=e^x$ | $y^{\prime}=e^x$ |
| $y=a^x$ | $y^{\prime}=a^x \cdot \ln a$ |
| $y=\ln x$ | $y^{\prime}=\frac{1}{x}$ |
| $y=\log _a x$ | $y^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$ |
| $y=\arcsin x$ | $y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $y=\arccos x$ | $y^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $y=\arctan x$ | $y^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}$ |
| $y=$ arccot $x$ | $y^{\prime}=-\frac{1}{1+x^2}$ |
| Hàm số $y=f[u(x)]$ | Đạo hàm $y’$ |
| $y=u^n$ | $y^{\prime}=n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}$ |
| $y=\sqrt{u}$ | $y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}$ |
| $y=\frac{1}{u}$ | $y^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^2}$ |
| $y=\sin u$ | $y^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}$ |
| $y=\cos u$ | $y^{\prime}=-\sin u \cdot u^{\prime}$ |
| $y=\tan u$ | $y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^2 u}$ |
| $y=\cot u$ | $y^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{\sin ^2 u}$ |
| $y=e^u$ | $y^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$ |
| $y=a^{u}$ | $y^{\prime}=a^u \cdot \ln a \cdot u^{\prime}$ |
| $y=\ln u$ | $y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$ |
| $y=\log_a u$ | $y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}$ |
| $y=\arcsin u$ | $y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^2}}$ |
| $y=\arccos u$ | $y^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^2}}$ |
| $y=\arctan u$ | $y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^2}$ |
| $y=$ arccot $u$ | $y^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{1+u^2}$ |
#9. Tính đạo hàm tại một điểm của một hàm số bất kỳ bằng máy tính Casio
Mình sẽ thực hành minh họa cách tính đạo hàm tại một điểm bất kỳ bằng máy tính cầm tay CASIO FX 580 VNX
Trên các dòng máy tính cầm tay khác các bạn thực hiện tương tự !
Chẳng hạn mình cần tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{2x+3}{\sqrt{5x^2+7x+11}}$ tại $x=2$ thì thực hiện tuần tự theo các chỉ dẫn bên dưới
Bước 1. Nhấn phím 
 |
 |
| Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki] |
CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada] |
Bước 2. Nhập hàm số vào máy tính cầm tay
Bước 3. Nhấn 
=> nhập $2$
Bước 4. Nhấn phím =
Vậy đạo hàm của hàm số $y=\frac{2x+3}{\sqrt{5x^2+7x+11}}$ tại $x=2$ gần bằng $-0.01490711985$
#10. Lời kết
Nội dung trọng tâm của bài viết này chính là công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp, bằng mọi cách bạn phải thuộc được các công thức này nhé.
Còn các nội dung còn lại chỉ mang tính chất bổ trợ, nhớ được thì tốt không nhớ được cũng không sao cả.
Okay ! Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !
Đọc thêm:
CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn
