Công thức tính nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Xin chào tất cả các bạn !

Tương tự như đạo hàm, nguyên hàm (tích phân không xác định) cũng có nhiều ứng dụng trong Toán học và trong thực tiễn của cuộc sống.

Vậy nên hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về định nghĩa nguyên hàm, cũng như các tính chất và các định lý có liên quan đến nguyên hàm các bạn nhé.

#1. Nguyên hàm là gì?

1.1. Định nghĩa Nguyên hàm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$ ($K$ có thể là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng).

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F^{\prime}(x)=f(x)$ với mọi $x$ thuộc $K$

Chú ý:

Nếu $K=[a ; b]$ thì các đẳng thức $F^{\prime}(a)=f(a)$, $F^{\prime}(b)=f(b)$ được hiểu là $\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{F(x)-F(a)}{x-a}=f(a)$, $\lim _{x \rightarrow b^{-}} \frac{F(x)-F(b)}{x-b}=f(b)$

Cho hai hàm số $f(x)$ và $F(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$

Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(a ; b)$ thì $F^{\prime}(a)=f(a)$ và $F^{\prime}(b)=f(b)$

=> $F(x)$ cũng là nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$

Ví dụ 1. Hàm số $F(x)=x^2+3x$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+3$ trên $\mathbb{R}$ vì $\left(x^2+3x\right)^{\prime}=2x+3$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

1.2. Định lý

Giả sử hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$

Lúc bấy giờ …

Với mỗi hằng số $C$ hàm số $y=F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$

Với mỗi nguyên hàm $G(x)$ của $f(x)$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x)=F(x)+C$ với mọi $x$ thuộc $K$

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=3x^2+5x+7$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện $F(2)=3$

Lời giải:

Dễ thấy $y=x^3+\frac{5}{2} x^2+7 x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2+5x+7$ nên nguyên hàm $F$ cần tìm có dạng $F(x)=x^3+\frac{5}{2} x^2+7 x+C$

Vì $F(2)=3$ nên $2^3+\frac{5}{2}.2^2+7.2+C=3$ suy ra $C=-29$

Vậy $F(x)=x^3+\frac{5}{2} x^2+7 x-29$

#2. Công thức nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Việc tìm nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về việc tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản.

Ví dụ 3. Tính $\int \sqrt{x}  dx$

Lời giải:

Dễ thấy $\int \sqrt{x}  dx=\int x^{\frac{1}{2}} dx$

$=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$

$=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$

$=\frac{2}{3} \sqrt{x^3}+C$

#3. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Ví dụ 4. Tính $\int \sin ^2 x dx$

Lời giải:

$\int \sin ^2 x dx$ (Xem thêm các công thức lượng giác đáng nhớ)

$=\int \frac{1-\cos 2 x}{2} dx$

$=\frac{1}{2} \int dx-\frac{1}{2} \int \cos 2 x dx$

$=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C$

#4. Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Về cơ bản có hai phương pháp tìm nguyên hàm là phương pháp đổi biến số và phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

4.1. Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số $u=u(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ và hàm số $y=f(u)$ liên tục sao cho $f[u(x)]$ xác định trên $K$

Lúc bấy giờ nếu $F$ là một nguyên hàm của $f(x)$ tức là $\int f(u) du=F(u)+C$ thì $\int f[u(x)] u^{\prime}(x) dx=F[u(x)]+C$

Chú ý:

Trong thực hành chúng ta thường viết tắt $F[u(x)]$ là $F(u), f[u(x)]$ là $f(u)$ và coi $du$ là vi phân của hàm số $u=u(x)$ nghĩa là $du=du(x)=u^{\prime}(x) dx$

Lúc bấy giờ công thức $\int f[u(x)] u^{\prime}(x) dx=F[u(x)]+C$ được viết thành $\int f[u(x)] u^{\prime}(x) dx=\int f[u(x)] du(x)=\int f(u) du=F(u)+C=F[u(x)]+C$

Việc làm trên được gọi là phép đổi biến $u=u(x)$

Ví dụ 5. Tìm $\int(2 x+1)^4 dx$

Lời giải:

Chúng ta có $(2 x+1)^4 dx=\frac{1}{2}(2 x+1)^4(2 x+1)^{\prime}dx=\frac{1}{2}(2 x+1)^4 d(2 x+1)$

Đặt $u=u(x)=2 x+1$

Áp dụng công thức $\int f[u(x)] u^{\prime}(x) dx=\int f[u(x)] du(x)=\int f(u) du=F(u)+C=F[u(x)]+C$ chúng ta có

$\int(2 x+1)^4 dx$

$=\int \frac{1}{2}(2 x+1)^4 d(2 x+1)$

$=\int \frac{1}{2} u^4 du$

$=\frac{1}{2} \int u^4 du$

$=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^5+C$

$=\frac{1}{10}(2 x+1)^5+C$

4.2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Nếu $u, v$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $\int u(x) v^{\prime}(x) dx=u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) dx$

Công thức vừa trình bày được gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phân và thường được gọi tắt là công thức nguyên hàm từng phần

Công thức vừa trình bày còn được viết gọn dưới dạng $\int u dv=u v-\int v du$

Ví dụ 6. Tìm $\int x \cos x dx$

Lời giải:

Đặt $u(x)=x, v^{\prime}(x)=\cos x$

Lúc bấy giờ $u^{\prime}(x)=1, v(x)=\sin x$

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần chúng ta có $\int x \cos x dx=x \sin x-\int \sin x dx=x \sin x+\cos x+C$

#5. Cách tính nguyên hàm của hàm số bằng công cụ trực tuyến Wolfram Alpha

Tính đến thời điểm hiện tại không một chiếc máy tính cầm tay nào (được mang vào phòng thi) có thể tính được nguyên hàm.

Vì vậy mình sẽ hướng dẫn các bạn thực hành tính nguyên hàm của một hàm số bằng dịch vụ trực tuyến Wolfram Alpha thay vì bằng máy tính cầm tay như thường lệ ha.

Tuy là không hỗ trợ trong việc kiểm tra, thi cử… nhưng nó vẫn rất có giá trị trong quá trình học tập.

Ví dụ.

Giả sử mình cần tính $\int x \cos x dx$ thì thực hiện tuần tự theo các bước bên dưới:

Bước 1. Truy cập vào Wolfram Alpha  bằng cách nháy chuột vào địa chỉ https://www.wolframalpha.com/

Bước 2. Nhập integral(x*cosx)

Bước 3. Nhấp phím Enter trên bàn phím của máy vi tính

Vậy nguyên hàm của hàm số đã cho là $x \sin x+\cos x+C$

#6. Lời kết

Vâng, trên đây là tổng hợp các công thức tính nguyên hàm của các hàm số thường gặp. Trong thực hành, khi cần tìm nguyên hàm của hàm số thì các bạn nên thực hiện / tư duy theo các chỉ dẫn bên dưới:

• Quan sát xem hàm số đã cho có rơi vào các công thức nguyên hàm cơ bản hay không?
• Có thể áp dụng tính chất để đưa hàm số đã cho về các công thức nguyên hàm cơ bản hay không?
• Sử dụng phương pháp đổi biến số.
• Sử dụng phương pháp lấy từng phần.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

 

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn