Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Nếu như việc chứng minh công thức tính độ dài đường phân giác khá phức tạp thì việc chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến lại dễ hơn khá nhiều !

Thật vậy, bạn chỉ cần áp dụng định lý hàm côsin và hệ quả của định lý hàm côsin là xong.

Vâng, trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này mình chỉ chứng minh công thức cho một đường trung tuyến mà thôi, hai đường trung tuyến còn lại các bạn chứng minh tương tự ha,

#1. Đường trung tuyến là gì?

Khi nhắc đến khái niệm đường trung tuyến thì mặc định chúng ta sẽ hiểu là đường trung tuyến trong tam giác.

Đường trung tuyến trong tam giác là một đường thẳng đi qua đỉnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện.

Mỗi tam giác sẽ có ba đường trung tuyến, ba đường này sẽ đồng quy (giao nhau) tại một điểm và điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.

Ví dụ như hình bên trên: $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$

Và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

#2. Tính chất đường trung tuyến

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:

Vâng, tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác. Tam giác vuông luôn có một góc bằng 90^o, và hai cạnh tạo nên góc này sẽ vuông góc với nhau.

Vậy nên đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến trong tam giác thường. Ngoài ra, có 2 định lý rất quan trọng mà bạn cần phải nhớ đó là:

• Định lý 1: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền sẽ bằng một nửa cạnh huyền.
• Định lý 2: Ngược lại, một tam giác mà có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy sẽ là tam giác vuông.

Chúng ta sẽ sử dụng 2 định lý này rất nhiều trong quá trình giải bài tập, vậy nên bạn hãy nhớ nhé !

Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân:

• Đối với 2 loại tam giác đặc biệt này thì đường trung tuyến ứng với cạnh đáy sẽ vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác ra thành 2 tam giác bằng nhau.

#3. Nhắc lại một số công thức có liên quan

Định lí côsin và hệ quả của định lý côsin là kiến thức mà bạn phải nắm được nếu muốn chứng minh được công thức tính độ dài đường trung tuyến.

3.1. Định lý côsin

Trong tam giác $ABC$, với $BC=a, CA=b, AB=c$ ta luôn có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

3.2. Hệ quả của định lý Côsin

Xuất phát từ định lý côsin, viết các công thức tính giá trị của $\cos A, \cos B, \cos C$ theo $a, b, c$ chúng ta sẽ thu được hệ quả của định lý côsin.

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

#4. Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác $ABC$ có $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$

Đặt $BC=a, CA=b, AB=c, AA’=m_a, BB’=m_b, CC’=m_c$

Lúc này độ dài các đường trung tuyến sẽ được tính theo công thức:

$m_a=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}$, $m_b=\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}}$, $m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}$

#5. Các bước chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến

Chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến $m_a=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}$

Áp dụng định lý côsin vào tam giác $ABA’$ ta được $m_a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+c^2-2\frac{a}{2}c\cos B$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin vào tam giác $ABC$ ta được:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$, thay $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ vào $m_a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+c^2-2\frac{a}{2}c\cos B$ ta được $m_a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+c^2-2\frac{a}{2}c\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+c^2-\frac{a^2+c^2-b^2}{2}$

$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{2c^2}{2}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2}$

$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{2c^2-(a^2+c^2-b^2)}{2}$

$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{2c^2-a^2-c^2+b^2}{2}$

$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{c^2-a^2+b^2}{2}$

$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}+\frac{c^2+b^2}{2}$

$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}-\frac{2a^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}$

$(*) \Leftrightarrow m_a^2=-\frac{a^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}$

$(*) \Rightarrow m_a=\sqrt{-\frac{a^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}}$

Chứng minh hoàn thành …

Gợi ý cách chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến $m_b$ và $m_c$

• Áp dụng định lý côsin vào tam giác $B’BC$ ta được $m_b^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2-2\frac{b}{2}a\cos C$
• Áp dụng định lý côsin vào tam giác $C’CB$ ta được $m_c^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2+a^2-2\frac{c}{2}a\cos B$

#6. Công thức tính độ dài trong những tam giác đặc biệt

Trong những tam giác đặc biệt (tam giác đều, tam giác cân) sẽ có những công thức tính đặc biệt, giúp bạn tính nhanh hơn.

Vì công thức tính đặc biệt đơn giản hơn công thức tính tổng quát nên chúng ta thường cố gắng tìm – chứng minh – sử dụng chúng.

6.1. Tam giác đều

Cho tam giác đều $ABC$ có $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$

Đặt $BC=CA=AB=a, AA’=m_a, BB’=m_b, CC’=m_c$

Lúc này độ dài các đường trung tuyến của tam giác $ABC$ sẽ được tính theo công thức $m_a=m_b=m_c=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

6.2. Tam giác cân

Cho tam giác cân $ABC$ (cân tại $A$) có $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$

Đặt $BC=a, CA=AB=b, AA’=m_a, BB’=m_b, CC’=m_c$

Lúc này độ dài các đường trung tuyến của tam giác $ABC$ sẽ được tính theo các công thức $m_a=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$, $m_b=m_c=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{4}}$

#7. Lời kết

Vâng, trên đây là đầy đủ khái niệm, tính chất đường trung tuyến, cũng như là cách tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.

Một bộ phân không nhỏ các bạn học sinh, thậm chí là sinh viên không bao giờ đọc các chứng minh.

Đây thực sự là một hạn chế khá lớn, bởi việc đọc các chứng minh không chỉ giúp bạn nhớ được công thức, định lý mà còn gián tiếp giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận, tư duy, cũng như kỹ năng chứng minh, …

Vậy nên bạn hãy cố gắng đọc các chứng minh nhé, hãy bắt đầu ngay với chứng minh của mình, mình đã cố gắng trình bày chi tiết nhất có thể, vậy nên mình tin chắc là bạn có thể hiểu được một cách dễ dàng.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn