Hướng dẫn 2 cách tính độ dài đường trung tuyến

Xin chào tất cả các bạn, hôm nay mình sẽ hướng dẫn cho các bạn 2 cách tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác đơn giản nhất.

• Cách thứ 1. Sử dụng kiến thức của hình học giải tích, chủ yếu là công thức tính tọa độ trung điểm và công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.
• Cách thứ 2. Mình sẽ sử dụng kiến thức của hình học sơ cấp, chủ yếu là công thức tính độ dài đường trung tuyến mà mình đã chia sẻ với các bạn trong bài viết trước.

Tùy thuộc vào giả thuyết của bài toán đề ra mà chúng ta sẽ cân nhắc, lựa chọn cách giải cho nhanh nhất và phù hợp nhất. Okay, ngay bây giờ chúng ta sẽ vào phần nội dung chính !

I. Làm thế nào để tính độ dài đường trung tuyến?

Đọc thêm:

• 4 cách chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau (có ví dụ)
• 3 cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng mà mình hay áp dụng
• Tính diện tích và thể tích của hình chóp đều, hình chóp cụt đều

Cách 1. Dựa vào kiến thức hình học giải tích

Cho tam giác $ABC$ có $A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c)$, tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác $ABC$

Bước 1. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$

• $A’\left(\frac{x_b+x_c}{2}, \frac{y_b+y_c}{2}\right)$
• $B’\left(\frac{x_c+x_a}{2}, \frac{y_c+y_a}{2}\right)$
• $C’\left(\frac{x_a+x_b}{2}, \frac{y_a+y_b}{2}\right)$

Bước 2. Khoảng cách $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$

• $AA’=\sqrt{\left(\frac{x_b+x_c}{2}-x_a\right)^2+\left(\frac{y_b+y_c}{2}-y_a\right)^2}$
• $BB’=\sqrt{\left(\frac{x_c+x_a}{2}-x_b\right)^2+\left(\frac{y_c+y_a}{2}-y_b\right)^2}$
• $CC’=\sqrt{\left(\frac{x_a+x_b}{2}-x_c\right)^2+\left(\frac{y_a+y_b}{2}-y_c\right)^2}$

Cách 2. Dựa vào kiến thức hình học sơ cấp

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a, CA=b, AB=c$, tính độ dài các đường trung tuyến $m_a, m_b, m_c$ của tam giác $ABC$

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến $m_a=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}$, $m_b=\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}}$, $m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}$ là xong

II. Bài tập ví dụ tính độ dài trung tuyến

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có $A(2, 3), B(1, 1), C(5, 1)$, tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác $ABC$

Cách 1. Dựa vào kiến thức hình học giải tích

Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$

• $A’\left(\frac{1+5}{2}, \frac{1+1}{2}\right)=\left(3, 1\right)$
• $B’\left(\frac{5+2}{2}, \frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, 2\right)$
• $C’\left(\frac{2+1}{2}, \frac{3+1}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}, 2\right)$

Lúc này, khoảng cách $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$

• $AA’=\sqrt{\left(3-2\right)^2+\left(1-3\right)^2}=\sqrt{5}$
• $BB’=\sqrt{\left(\frac{7}{2}-1\right)^2+\left(2-1\right)^2}=\frac{\sqrt{29}}{2}$
• $CC’=\sqrt{\left(\frac{3}{2}-5\right)^2+\left(2-1\right)^2}=\frac{\sqrt{53}}{2}$

Cách 2. Dựa vào kiến thức hình học sơ cấp

Áp dụng công thức tính độ dài ba cạnh trong tam giác $ABC$ ta được …

• Độ dài cạnh $BC=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}=4$
• Độ dài cạnh $CA=\sqrt{(2-5)^2+(3-1)^2}=\sqrt{13}$
• Độ dài cạnh $AB=\sqrt{(1-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}$

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác $ABC$ ta được …

• Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ là $\sqrt{\frac{(\sqrt{13})^2+(\sqrt{5})^2}{2}-\frac{4^2}{4}}=\sqrt{5}$
• Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $B$ là $\sqrt{\frac{(\sqrt{5})^2+4^2}{2}-\frac{(\sqrt{13})^2}{4}}=\frac{\sqrt{29}}{2}$
• Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $C$ là $\sqrt{\frac{4^2+(\sqrt{13})^2}{2}-\frac{(\sqrt{5})^2}{4}}=\frac{\sqrt{53}}{2}$

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $BC=4, CA=\sqrt{13}, AB=\sqrt{5}$, tính độ dài các đường trung tuyến $m_a, m_b, m_c$ của tam giác $ABC$

Độ dài đường trung tuyến $m_a$ là $\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{13})^2+(\sqrt{5})^2}{2}-\frac{4^2}{4}}=\sqrt{5}$

Độ dài đường trung tuyến $m_b$ là $\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}}=\sqrt{\frac{(4)^2+(\sqrt{5})^2}{2}-\frac{(\sqrt{13})^2}{4}}=\frac{\sqrt{29}}{2}$

Độ dài đường trung tuyến $m_c$ là $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}=\sqrt{\frac{4^2+(\sqrt{13})^2}{2}-\frac{(\sqrt{5})^2}{4}}=\frac{\sqrt{53}}{2}$

III. Lời kết

Qua bài viết này chúng ta thấy:

• Cách 1. Cách tính độ dài đường trung tuyến này dành riêng cho học sinh Trung học phổ thông, sinh viên, giáo viên, giảng viên, … (nếu bạn là học sinh Trung học cơ sở hãy bỏ qua cách n này).
• Cách 2. Cách tính độ dài đường trung tuyến này dành cho tất cả các bạn học sinh, từ Trung học cơ sở đến Trung học phổ thông, từ sinh viên Cao Đẳng đến Đại học, … đều có thể sử dụng được.

Ngoài ra, bạn cũng có thể thử sức chuyển một bài toán hình học giải tích sang bài toán hình học sơ cấp và ngược lại để thử sức nhé ^^!

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn