Hướng dẫn 2 cách tính độ dài đường trung tuyến

Xin chào tất cả các bạn, hôm nay mình sẽ hướng dẫn cho các bạn 2 cách tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác đơn giản nhất.

  • Cách thứ 1. Sử dụng kiến thức của hình học giải tích, chủ yếu là công thức tính tọa độ trung điểm và công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.
  • Cách thứ 2. Mình sẽ sử dụng kiến thức của hình học sơ cấp, chủ yếu là công thức tính độ dài đường trung tuyến mà mình đã chia sẻ với các bạn trong bài viết trước.

Tùy thuộc vào giả thuyết của bài toán đề ra mà chúng ta sẽ cân nhắc, lựa chọn cách giải cho nhanh nhất và phù hợp nhất. Okay, ngay bây giờ chúng ta sẽ vào phần nội dung chính !

I. Làm thế nào để tính độ dài đường trung tuyến?

Đọc thêm:

Cách 1. Dựa vào kiến thức hình học giải tích

Cho tam giác $ABC$ có $A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c)$, tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác $ABC$

cach-tinh-do-dai-duong-trung-tuyen (1)

Bước 1. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$

  • $A’\left(\frac{x_b+x_c}{2}, \frac{y_b+y_c}{2}\right)$
  • $B’\left(\frac{x_c+x_a}{2}, \frac{y_c+y_a}{2}\right)$
  • $C’\left(\frac{x_a+x_b}{2}, \frac{y_a+y_b}{2}\right)$

Bước 2. Khoảng cách $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$

  • $AA’=\sqrt{\left(\frac{x_b+x_c}{2}-x_a\right)^2+\left(\frac{y_b+y_c}{2}-y_a\right)^2}$
  • $BB’=\sqrt{\left(\frac{x_c+x_a}{2}-x_b\right)^2+\left(\frac{y_c+y_a}{2}-y_b\right)^2}$
  • $CC’=\sqrt{\left(\frac{x_a+x_b}{2}-x_c\right)^2+\left(\frac{y_a+y_b}{2}-y_c\right)^2}$

Cách 2. Dựa vào kiến thức hình học sơ cấp

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a, CA=b, AB=c$, tính độ dài các đường trung tuyến $m_a, m_b, m_c$ của tam giác $ABC$

cach-tinh-do-dai-duong-trung-tuyen (2)

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến $m_a=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}$, $m_b=\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}}$, $m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}$ là xong

II. Bài tập ví dụ tính độ dài trung tuyến

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có $A(2, 3), B(1, 1), C(5, 1)$, tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác $ABC$

cach-tinh-do-dai-duong-trung-tuyen (3)

Cách 1. Dựa vào kiến thức hình học giải tích

Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$

  • $A’\left(\frac{1+5}{2}, \frac{1+1}{2}\right)=\left(3, 1\right)$
  • $B’\left(\frac{5+2}{2}, \frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, 2\right)$
  • $C’\left(\frac{2+1}{2}, \frac{3+1}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}, 2\right)$

Lúc này, khoảng cách $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$

  • $AA’=\sqrt{\left(3-2\right)^2+\left(1-3\right)^2}=\sqrt{5}$
  • $BB’=\sqrt{\left(\frac{7}{2}-1\right)^2+\left(2-1\right)^2}=\frac{\sqrt{29}}{2}$
  • $CC’=\sqrt{\left(\frac{3}{2}-5\right)^2+\left(2-1\right)^2}=\frac{\sqrt{53}}{2}$

Cách 2. Dựa vào kiến thức hình học sơ cấp

Áp dụng công thức tính độ dài ba cạnh trong tam giác $ABC$ ta được …

  • Độ dài cạnh $BC=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}=4$
  • Độ dài cạnh $CA=\sqrt{(2-5)^2+(3-1)^2}=\sqrt{13}$
  • Độ dài cạnh $AB=\sqrt{(1-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}$

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác $ABC$ ta được …

  • Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ là $\sqrt{\frac{(\sqrt{13})^2+(\sqrt{5})^2}{2}-\frac{4^2}{4}}=\sqrt{5}$
  • Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $B$ là $\sqrt{\frac{(\sqrt{5})^2+4^2}{2}-\frac{(\sqrt{13})^2}{4}}=\frac{\sqrt{29}}{2}$
  • Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $C$ là $\sqrt{\frac{4^2+(\sqrt{13})^2}{2}-\frac{(\sqrt{5})^2}{4}}=\frac{\sqrt{53}}{2}$

Nhận xét:

  • Ví dụ này là một bài toán hình học giải tích, nếu muốn giải bằng kiến thức hình học sơ cấp thì việc đầu tiền mà các bạn cần làm là tính độ dài ba cạnh của tam giác trước đã.
  • Cách làm trên giúp chúng ta chuyển từ việc giải một bài toán hình học giải tích sang giải một bài toán hình học sơ cấp.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $BC=4, CA=\sqrt{13}, AB=\sqrt{5}$, tính độ dài các đường trung tuyến $m_a, m_b, m_c$ của tam giác $ABC$

cach-tinh-do-dai-duong-trung-tuyen (4)

Độ dài đường trung tuyến $m_a$ là $\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{13})^2+(\sqrt{5})^2}{2}-\frac{4^2}{4}}=\sqrt{5}$

Độ dài đường trung tuyến $m_b$ là $\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}}=\sqrt{\frac{(4)^2+(\sqrt{5})^2}{2}-\frac{(\sqrt{13})^2}{4}}=\frac{\sqrt{29}}{2}$

Độ dài đường trung tuyến $m_c$ là $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}=\sqrt{\frac{4^2+(\sqrt{13})^2}{2}-\frac{(\sqrt{5})^2}{4}}=\frac{\sqrt{53}}{2}$

Nhận xét

  • Nếu chọn được hệ tọa độ và hệ điểm thích hợp thì chúng ta vẫn có thể chuyển từ bài toán hình học sơ cấp sang bài toán hình học giải tích.
  • Tuy nhiên, việc làm này không phải lúc nào cũng dễ dàng, do vậy chỉ nên thực hiện trong những trường hợp thực sự cần thiết thôi nha các bạn.

III. Lời kết

Qua bài viết này chúng ta thấy:

  • Cách 1. Cách tính độ dài đường trung tuyến này dành riêng cho học sinh Trung học phổ thông, sinh viên, giáo viên, giảng viên, … (nếu bạn là học sinh Trung học cơ sở hãy bỏ qua cách n này).
  • Cách 2. Cách tính độ dài đường trung tuyến này dành cho tất cả các bạn học sinh, từ Trung học cơ sở đến Trung học phổ thông, từ sinh viên Cao Đẳng đến Đại học, … đều có thể sử dụng được.

Ngoài ra, bạn cũng có thể thử sức chuyển một bài toán hình học giải tích sang bài toán hình học sơ cấp và ngược lại để thử sức nhé ^^!

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn

Bài viết đạt: 5/5 sao - (Có 1 lượt đánh giá)
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !

Administrator: Kiên Nguyễn

Có một câu nói của người Nhật mà mình rất thích đó là " Người khác làm được thì mình cũng làm được ". Chính vì thế mà hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn ! Nếu như bạn đang gặp khó khăn và cần sự trợ giúp thì hãy comment phía bên dưới mỗi bài viết để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng Blog Chia Sẻ Kiến Thức nhé.

Một vài lưu ý trước khi comment :

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *
Tất cả các comment của các bạn sẽ được giải đáp trong vòng 48h !
Không được sử dụng từ khóa trong ô 'Name', bạn hãy dùng tên thật hoặc Nickname của bạn !
Không dẫn link sang trang web/blog khác. Xem quy định comment tại đây. Thank All!

Leave a Reply

Your email address will not be published.