Tính diện tích và thể tích của hình chóp đều, hình chóp cụt đều

Hình chóp là khối đa diện có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung đỉnh.

Vì hình chóp không có nhiều tính chất “đẹp” cũng như không có nhiều ứng dụng trong Toán học và thực tiễn nên trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này mình chỉ trình bày với các bạn hình chóp đều và hình chóp cụt đều thôi ha.

Cụ thể thì mình sẽ trình bày định nghĩa, công thức tính diện tích, thể tích của hình chóp đều, hình chóp cụt đều và ví dụ minh họa.

#1. Định nghĩa hình về chóp đều và hình chóp cụt đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau, có chung đỉnh.

Người ta thường gọi tên của hình chóp kèm theo tên của đa giác đáy hình chóp <n> giác đều.

Với <n> có thể là tam giác, tứ giác, ngũ giác…..

Hình chóp tam giác đều có đáy là một hình tam giác đều, ba mặt bên là ba tam giác cân bằng nhau.

Nếu cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy (đa giác đều) thì phần nằm giữa mặt phẳng cắt và mặt phẳng đáy được gọi là hình chóp cụt đều.

Các bạn để ý hình bên dưới, các mặt bên của hình chóp cụt đều là các hình thang cân bằng nhau.

Hình chóp tam giác cụt đều có đáy là một tam giác đều, ba mặt bên là ba hình thanh cân bằng nhau.

#2. Công thức tính diện tích hình chóp đều và hình chóp cụt đều

2.1. Công thức tính diện tích của hình chóp đều 

Diện tích xung quanh của hình chóp đều sẽ bằng tích của nửa chu vi đáy và độ dài trung đoạn (đường cao kẻ từ đỉnh của một mặt bên bất kỳ)

Diện tích toàn phần của hình chóp đều sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đa giác đáy.

2.2. Công thức tính diện tích của hình chóp cụt đều 

Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều sẽ được tính theo công thức $S_{xq}=\frac{1}{2}.(C+C’).m$

• C chu vi đa giác đáy lớn
• C’ chu vi đa giác đáy bé
• m trung đoạn của hình thang cân

Diện tích toàn phần của hình chóp cụt đều sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh, diện tích đa giác đáy lớn và diện tích đa giác đáy bé.

#3. Công thức tính thể tích hình chóp đều và hình chóp cụt đều

3.1. Công thức tính thể tích của hình chóp đều 

Thể tích của hình chóp đều sẽ bằng tích của một phần ba, diện tích của đa giác đáy và chiều cao

3.2. Công thức tính thể tích của hình chóp cụt đều 

Thể tích của hình chóp cụt đều sẽ được tính theo công thức $V=\frac{1}{3}.(S+S’+\sqrt{S.S’}).h$

• S diện tích đa giác đáy lớn
• S’ diện tích đa giác đáy bé
• h chiều cao của hình chóp cụt đều

#4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết độ dài cạnh AB=30 cm và độ dài cạnh SA=25 cm

Lời Giải:

Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần

Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại M

Trước hết ta có nhận xét SM là đường cao của tam giác cân SAB (cân tại S) nên SM cũng là đường trung tuyến

Suy ra $AM=\frac{1}{2}.AB=\frac{1}{2}.30=15~cm$

Vì tam giác SAM là tam giác vuông (vuông tại M) nên $SM=\sqrt{SA^2-MA^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20~cm$

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều S.ABCD sẽ bằng $\frac{4.30}{2}.20=60.20=1200~cm^2$

Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều S.ABCD sẽ bằng $1200+30^2=1200+900=2100~cm^2$

Thể tích của hình chóp

Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với tứ giác đều ABCD tại H

Vì tam giác SAH là tam giác vuông (vuông ở H) nên $SH=\sqrt{SA^2-HA^2}=\sqrt{25^2-(15\sqrt{2})^2}=5\sqrt{7} \approx 13.2~cm$

Thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD sẽ bằng $\frac{1}{3}.30^2.5\sqrt{7}=1500\sqrt{7} \approx 3968.6~cm^3$

Vậy diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đã cho lần lượt gần bằng $1200~cm^2, 2100~cm^2, 3968.6~cm^3$

Ví dụ 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC biết độ dài cạnh AB và độ dài cạnh SA đều bằng a cm

Trước khi tìm tòi lời giải của ví dụ này mình xin nhắc lại một vài kiến thức đã biết trước đó.

Các kiến thức này đã được thừa nhận, bạn chỉ cần áp dụng mà không cần chứng minh lại.

• Trong một tam giác đều đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực và đường phân giác trùng nhau
• Nếu tam đều có độ dài một cạnh bằng a thì chiều cao và diện tích lần lượt bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Lời Giải:

Dễ thấy độ dài trung đoạn của hình chóp đều bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra diện tích xung quanh của hình chóp đều sẽ bằng $\frac{3a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

Dễ thấy diện tích của tam giác đều bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Suy ra diện tích toàn phần của hình chóp đều sẽ bằng $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$

Chiều cao của hình chóp đều bằng $\sqrt{a^2-\left(\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\cdots=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Suy ra thể tích của hình chóp đều sẽ bằng $\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}$

=$\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Vậy diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC lần lượt bằng $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}, a^2\sqrt{3}, \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

#5. Lời kết

Như vậy chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu xong về cách tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, cũng như cách tính thể tích của hình chóp đều và hình chóp cụt đều rồi nhé.

Trong bài viết này mình chỉ trình bày ví dụ cho bạn về hình chóp đều, hình chóp cụt đều thì không trình bày. Nếu muốn bạn có thể tự tìm hiểu thêm, cách tính hoàn toàn tương tự chỉ việc áp dụng đúng công thức là xong.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo nhé !

Đọc thêm:

• Cách tính diện tích và thể tích của hình trụ (có ví dụ)
• Tính diện tích, thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác, tứ giác

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com