Tổng hợp 12 công thức Hình học Giải tích (không gian)

Dưới đây là toàn bộ các công thức Hình học Giải tích trong không gian mà các bạn cần biết..

Các công thức này được mình tham khảo trong Chương III (Phương pháp tọa độ trong không gian, Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao, đảm bảo độ chính xác tuyệt đối).

#1. Cách viết tọa độ của véc tơ và điểm trong không gian

Vec tơ $\vec{u}$ có toạ độ $(x ; y ; z) \Leftrightarrow \vec{u}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$

Điểm $M$ có toạ độ $(x ; y ; z) \Leftrightarrow \overrightarrow{O M}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$

Nếu điểm $A=\left(x_A ; y_A ; z_A\right)$ và điểm $B=\left(x_B ; y_B ; z_B\right)$ thì $\overrightarrow{A B}=\left(x_B-x_A ; y_B-y_A ; z_B-z_A\right)$

#2. Công thức tính tích vô hướng và tích có hướng

Cho $\vec{u}=(x ; y ; z)$ và $\vec{v}=\left(x^{\prime} ; y^{\prime} ; z^{\prime}\right)$

Lúc này chúng ta có:

+) Tích vô hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là số $\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}$

+) Tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là vec tơ

$[\vec{u}, \vec{v}]=\left(\left|\begin{array}{ll}y&z \\ y^{\prime}&z^{\prime}\end{array}\right|; \left|\begin{array}{ll}z&x \\ z^{\prime}&x^{\prime}\end{array}\right|; \left|\begin{array}{ll}x&y \\ x^{\prime}&y^{\prime}\end{array}\right|\right)$ <=> $(yz’-y’z; zx’-z’x; xy’-x’y)$

Một số tính chất:

• $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}=0$
• $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow[\vec{u}, \vec{v}]=\overrightarrow{0}$
• $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w}=0$

#3. Công thức tính diện tích hình bình hành và hình hộp trong không gian

• Diện tích hình bình hành $S_{A B C D}=|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}]|$
• Thể tích hình hộp $V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}] \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}|$

#4. Phương trình mặt cầu trong không gian

Phương trình có dạng $x^2+y^2+z^2+2 a x+2 b y+2 c z+d=0$ với điều kiện $a^2+b^2+c^2>d$ được gọi là phương trình mặt cầu.

Dễ thấy, phương trình mặt cầu này có tâm $(-a ;-b ;-c)$ và có bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

Xem thêm:
Cách viết phương trình mặt cầu

#5. Phương trình mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng đi qua điểm $\left(x_0 ; y_0 ; z_0\right)$ với vec tơ pháp tuyến $(A ; B ; C)$ có phương trình là $A(x-x_{0}) + B(y-y_{0}) + C(z – z_{0})=0$

Phương trình $A x+B y+C z+D=0$ với điều kiện $A^2+B^2+C^2>0$ cũng là phương trình của mặt phẳng.

Dễ thấy, phương trình mặt phẳng $A x+B y+C z+D=0$ có vec tơ pháp tuyến là $\vec{n}(A ; B ; C)$

Xem thêm:
Cách viết phương trình mặt phẳng

#6. Phương trình đường thẳng trong không gian

Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0\left(x_0 ; y_0 ; z_0\right)$ và có vec tơ chỉ phương $\vec{u}(a ; b ; c)$

Lúc này, phương trình tham số của $d$ là $\left\{\begin{array}{l} x=x_0+a t \\ y=y_0+b t \\ z=z_0+c t \end{array}\right.$

Phương trình chính tắc của $d$ khi $a b c \neq 0$ là $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

Xem thêm:
Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian

#7. Cách xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $A x+B y+C z+D=0$ và mặt phẳng $\left(\alpha^{\prime}\right)$ có phương trình $A^{\prime} x+B^{\prime} y+C^{\prime} z+D^{\prime}=0$

• $(\alpha)$ và $\left(\alpha^{\prime}\right)$ cắt nhau khi và chỉ khi $A: B: C \neq A^{\prime}: B^{\prime}: C^{\prime}$
• $(\alpha)$ và $\left(\alpha^{\prime}\right)$ song song khi và chỉ khi $\frac{A}{A^{\prime}}=\frac{B}{B^{\prime}}=\frac{C}{C^{\prime}} \neq \frac{D}{D^{\prime}}$
• $(\alpha)$ và $\left(\alpha^{\prime}\right)$ trùng nhau khi và chỉ khi $\frac{A}{A^{\prime}}=\frac{B}{B^{\prime}}=\frac{C}{C^{\prime}}=\frac{D}{D^{\prime}}$
• $(\alpha)$ và $\left(\alpha^{\prime}\right)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $A A^{\prime}+B B^{\prime}+C C^{\prime}=0$

#8. Cách xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0$ có vec tơ chỉ phương $\vec{u}$ và đường thẳng $d^{\prime}$ đi qua điểm $M_0^{\prime}$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime}}$

• $d$ trùng $d^{\prime}$ $\Leftrightarrow\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right]=\left[\vec{u}, \overrightarrow{M_0 M_0^{\prime}}\right]=\overrightarrow{0}$

• $d$ song song $d^{\prime}$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} {\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right]=\overrightarrow{0}} \\ {\left[\vec{u}, \overrightarrow{M_0 M_0^{\prime}}\right] \neq \overrightarrow{0}}\end{array}\right.$

• $d$ cắt $d^{\prime}$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right] \cdot \overrightarrow{M_0M_0^{\prime}}=0} \\ {\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right] \neq \overrightarrow{0}}\end{array}\right.$

• $d$ chéo $d^{\prime}$ $\Leftrightarrow\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right] \cdot \overrightarrow{M_0M_0^{\prime}} \neq 0$

Xem thêm:
Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

#9. Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm $A\left(x_A ; y_A ; z_A\right)$ và $B\left(x_B ; y_B ; z_B\right)$ được tính theo công thức:

$A B=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}$

#10. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm $M_0\left(x_0 ; y_0 ; z_0\right)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $A x+B y+C z+D=0$ được tính theo công thức:

$d\left(M_0,(\alpha)\right)=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

#11. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm $M_1$ đến đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0$ và có vec tơ chỉ phương $\vec{u}$ được tính theo công thức:

$d\left(M_1, \Delta\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{M_0 M_1}, \vec{u}\right]\right|}{|\vec{u}|}$

Xem thêm:
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

#12. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $\Delta$ và $\Delta^{\prime}$ biết $\Delta$ đi qua điểm $M_0$ và có vec tơ chỉ phương $\vec{u}$ còn $\Delta^{\prime}$ đi qua điểm $M_0^{\prime}$ và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime}}$ được tính theo công thức:

$d\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right)=\frac{\left|\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right] \cdot \overrightarrow{M_0 M_0^{\prime}}\right|}{\left|\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right]\right|}$

Xem thêm:
Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

#13. Lời kết

Vâng, trên đây là 12 công thức hình học giải tích trong không gian mà mình đã tổng hợp lại giúp các bạn.

Mặc dù thuộc được các công thức này chưa chắc đã được điểm cao, nhưng nếu không thuộc thì chắc chắn bạn sẽ không có điểm nào hết ^^

Vậy nên bằng cách này hay cách khác, bạn hãy cố gắng thuộc được các công thức mình vừa trình bày ở trên các bạn nhé.

Không phải dạng thuộc vẹt mà bạn hãy tìm ra quy luật hoặc mẹo nhớ nào đó cho riêng mình, có như vậy mới nhớ được lâu và không bị loạn.

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn