Hướng dẫn cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xin chào tất cả các bạn, hôm này mình sẽ hướng dẫn các bạn cách xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng và xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian.

Nói về vị trí thì hai đường thẳng trên mặt phẳng có ba vị trí (cắt, song song, trùng). Còn trong không gian thì có thêm một vị trí nữa là chéo !

Hai đường thẳng vuông góc với nhau là một trường hợp đặc biệt của trường hợp cắt nhau.

I. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nằm trên mặt phẳng

Cách xét vị trí tương đối giữ hai đường thẳng nằm trên mặt phẳng tương tự cách xét vị trí tương đối giữa đường thẳng trong không gian và mặt phẳng.

Ở đây mình sẽ không hướng dẫn các bạn thực hiện theo cách trên, vì đã có một cách khác tối ưu hơn.

Đó là giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, trong đó mỗi phương trình của hệ sẽ là một phương trình tổng quát của đường thẳng.

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $(d): \left\{\begin{array}{ll}x&=2+t\\y&=3+t\end{array}\right.$ và $(d’):\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-1}$

Quá trình tìm tòi lời giải

1. Trước hết chúng ta sẽ chuyển phương trình tham số của (d) và phương trình chính tắc của (d’) sang dạng tổng quát.
2. Tiếp theo, lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn từ hai phương trình tổng quát vừa chuyển được.
3. Cuối cùng, giải hệ vừa lập được.

Lời giải

Phương trình chính tắc của (d) là: $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}$ => suy ra phương trình tổng quát là $x-y+1=0$

Dễ thấy, phương trình tổng quát của (d’) là: $x+y-5=0$

Xét hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{ll}x-y&=-1\\x+y&=5\end{array}\right.$

Vì hệ phương trình vừa lập có một nghiệm duy nhất là (2; 3) nên => (d) và (d’) cắt nhau.

II. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nằm trong không gian

Hai đường thẳng nằm trong không gian có bốn vị trí là cắt, song song, trùng và chéo.

#1. Kiến thức Toán học

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $(d_1)$ đi qua điểm $M_1$ có véctơ chỉ phương $\vec{u_1}$ và đường thẳng $(d_2)$ đi qua điểm $M_2$ có véctơ chỉ phương $\vec{u_2}$

• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]=\vec{0}$ và $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]=\vec{0}$ thì $(d_1)$ trùng $(d_2)$
• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]=\vec{0}$ và $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]\neq\vec{0}$ thì $(d_1)$ song song $(d_2)$
• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]\neq\vec{0}$ và $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=0$ thì $(d_1)$ cắt $(d_2)$
• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]\neq\vec{0}$ và $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}\neq0$ thì $(d_1)$ chéo $(d_2)$

#2. Một số chú ý

• Kí hiệu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]$ có nghĩa là tích có hướng của $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$
• Kí hiệu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}$ có nghĩa là tích vô hướng của $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]$ và $\overrightarrow{M_1M_2}$

Xem thêm: Cách tính tích có hướng của hai véc tơ

#3. Các bước giải

Bước 1. Lần lượt xác định véc tơ chỉ phương và điểm đi qua của đường thẳng thứ nhất, đường thẳng thứ 2.

Giả sử mình xác định được $\vec{u_1}, \vec{u_2}, M_1, M_2$

Bước 2. Tính véc tơ $\overrightarrow{M_1M_2}$

Bước 3. Tính tích có hướng của $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$

• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]=\vec{0}$ thì tính $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]$
• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \neq \vec{0}$ thì tính $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1 M_2}$

Bước 4. Xem xét rồi rút ra kết luận:

• Nếu $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]=\vec{0}$ thì $(d_1)$ trùng $(d_2)$ ngược lại $(d_1)$ song song $(d_2)$
• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}=0$ thì $(d_1)$ cắt $(d_2)$ ngược lại $(d_1)$ chéo $(d_2)$

#4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{ll}x&=3+t\\y&=4-t\\z&=5+2t\end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_2)\left\{\begin{array}{ll}x&=2+3t’\\y&=5-3t’\\z&=3+6t’\end{array}\right.$

Lời giải:

Gọi …

$\vec{u_1}, \vec{u_2}$ lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $(d_1), (d_2)$

$M_1, M_2$ lần lượt là điểm thuộc của đường thẳng $(d_1), (d_2)$

Dễ thấy: $\vec{u_1}=(1; -1; 2), \vec{u_2}=(3; -3; 6), \overrightarrow{M_1M_2}=(-1; 1; -2)$

Tích có hướng $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]=(0; 0; 0)$

Suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chỉ có thể trùng nhau hoặc song song

Tích có hướng $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]=(0; 0; 0)$

Vậy hai đường thẳng đã cho trùng nhau.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{ll} x&=2+t \\ y&=1+3t \\ z&=1-t \end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_2)\left\{\begin{array}{ll} x&=-1+3t’\\ y&=-1+2t’\\ z&=t’ \end{array}\right.$

Lời giải:

Gọi …

$\vec{u_1}, \vec{u_2}$ lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $(d_1), (d_2)$

$M_1, M_2$ lần lượt là điểm thuộc của đường thẳng $(d_1), (d_2)$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(1; 3; -1), \vec{u_2}=(3; 2; 1), \overrightarrow{M_1 M_2}=(-3; -2; -1)$

Tích có hướng $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]=(5; -4; -7)$

Suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Tích vô hướng $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}=0$

Vậy hai đường thẳng đã cho cắt nhau.

III. Lời kết

Muốn xét được vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian thì ngoài các kiến thức được nói bên trên ra, bạn còn cần thêm các kiến thức khác như:

• Cách tính tích có hướng của hai vectơ
• Cách tính tích vô hướng của hai véc tơ
• Xác định được điểm đi qua và véc tơ chỉ phương của đường thẳng cho dù phương trình đường thẳng được cho dưới dạng nào.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo ha !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com