Cách tính độ dài đường phân giác trong tam giác

Xin chào tất cả các bạn, bài viết hôm nay mình sẽ hướng dẫn các bạn cách tính độ dài đường phân giác trong tam giác !

Đọc thêm:

• Vẽ tia phân giác của một góc đơn giản với 5 cách sau đây

Như các bạn đã biết, mỗi góc trong tam giác sẽ có hai đường phân giác (một đường phân giác góc trong và một đường phân giác góc ngoài).

Đường phân giác được nhắc đến trong bài viết này là đường phân giác góc trong nha các bạn. Chúng ta nên thống nhất như vậy để không phải lặp đi lặp lại một từ, vừa tốn thời gian, vừa rườm rà..

Okay, bắt đầu thôi !

I. Cách tính độ dài đường phân giác (trong)

Cách #1. Sử dụng kiến thức hình học giải tích

Ví dụ. Tính độ dài các đường phân giác của tam giác $ABC$ biết $A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c)$

Ở đây mình chỉ hướng dẫn các bạn cách tính độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh $A$, các đường phân giác xuất phát từ hai đỉnh còn lại các bạn thực hiện hoàn toàn tương tự nhé.

Bước 1. Viết phương trình đường phân giác của $\hat{A}$

Giả sử phương trình đường phân giác của $\hat{A}$ là $(d): A_1x+B_1y+C_1=0$

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $B, C$

Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $B, C$ là $(BC): A_2x+B_2y+C_2=0$

Bước 3. Tìm giao điểm của đường phân giác $(d)$ và đường thẳng $(BC)$

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chúng ta sẽ tìm được giao điểm $\left\{\begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2=0\end{array}\right.$

Giả sử giao điểm là $I(x_i, y_i)$

Bước 4. Lúc này khoảng cách giữa điểm $A$ và $I$ chính là độ dài đường phân giác của $\hat{A}$

$AI=\sqrt{(x_i-x_a)^2+(y_i-y_a)^2}$

Cách #2. Dựa vào kiến thức hình học giải tích và hình học sơ cấp

Tính độ dài các đường phân giác của tam giác $ABC$ biết $A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c)$

Ở đây mình chỉ hướng dẫn các bạn cách tính độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh $A$, đường phân giác xuất phát từ hai đỉnh còn lại các bạn thực hiện tương tự ha.

Bước 1. Tính độ dài các cạnh $AB, BC, CA$

$AB=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$, $BC=\sqrt{(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2}$, $CA=\sqrt{(x_a-x_c)^2+(y_a-y_c)^2}$

Bước 2. Tính nữa chu vi $p=\frac{AB+BC+CA}{2}$

Bước 3. Áp dụng công thức $\frac{2\sqrt{p(p-BC)CA.AB}}{CA+AB}$

II. Cách tính độ dài đường phân giác (tam giác đều, vuông cân)

Trong Toán học, tam giác đặc biệt là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông và tam giác vuông cân.

Tuy nhiên, trong phạm vi bài viết này chúng ta chỉ xét tam giác đều và tam giác vuông cân.

Tương ứng với mỗi tam giác đặc biệt sẽ có những công thức đặc biệt giúp chúng ta tính nhanh độ dài các đường phân giác.

#1. Tam giác đều

Độ dài các đường phân giác trong tam giác đều cạnh $a$ luôn bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

#2. Tam giác vuông cân

Cho tam giác vuông cân $ABC$ (vuông cân tại $A$), lúc này các đường phân giác của tam giác $ABC$ sẽ được tính theo công thức …

• $I_a=\frac{\sqrt{2}CA.AB}{CA+AB}$
• $I_b=I_c=\frac{2AB.BC}{AB+BC}\cos\frac{45}{2} =\frac{2BC.CA}{BC+CA}\cos\frac{45}{2}$

III. Bài tập ví dụ về cách tính độ dài đường phân giác

Cho tam giác $ABC$ biết $A(4, 4), B=(1,3), C(6,-2)$, tính độ dài đường phân giác của $\hat{A}$

Cách #1. Dựa vào kiến thức hình học giải tích

Dễ thấy phương trường đường phân giác của $\hat{A}$ là $2x-y-4=0$

Xem thêm:
Cách viết phương trình đường phân giác

Dễ thấy $\overrightarrow{BC}=(5, -5)$

Phương trình đường thẳng $(BC)$ đi qua điểm $B$ và nhận véc tơ $\overrightarrow{BC}=(5, -5)$ làm véc tơ chỉ phương là $\left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\y=3-5t\end{array}\right.$

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng $(BC):x+y-4=0$

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}2x-y-4=0\\x+y-4=0\end{array}\right.$ ta được một nghiệm duy nhất là $\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right)$

Suy ra tọa độ giao điểm của đường phân giác $\hat{A}$ và đường thẳng $(BC)$ là $I\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right)$

Xem thêm:
Cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Độ dài đường phân giác cần tìm chính là khoảng cách giữa hai điểm $A, I$

$AI=\sqrt{\left(\frac{8}{3}-4\right)^2+\left(\frac{4}{3}-4\right)^2}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$

Vậy => độ dài đường phân giác cần tìm là $\frac{4\sqrt{5}}{3}$

Cách #2. Dựa vào kiến thức hình học giải tích và hình học sơ cấp

$AB=\sqrt{(1-4)^2+(3-4)^2}=\sqrt{10}$

$BC=\sqrt{(6-1)^2+(-2-3)^2}=5\sqrt{2}$

$CA=\sqrt{(4-6)^2+(4+2)^2}=2\sqrt{10}$

$p=\frac{AB+BC+CA}{2}=\frac{\sqrt{10}+5\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{2}=\frac{3\sqrt{10}+5\sqrt{2}}{2}$

Lúc này độ dài đường phân giác của $\hat{A}$ sẽ được tính theo công thức $\frac{2\sqrt{p(p-BC)CA.AB}}{CA+AB}$

$AI=\frac{2\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{10}+5\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{10}+5\sqrt{2}}{2}-5\sqrt{2}\right)(2\sqrt{10})(\sqrt{10})}}{2\sqrt{10}+\sqrt{10}}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$

Thủ thuật rút gọn những giá trị phức tạp bằng máy tính CASIO

Giả sử chúng ta cần rút gọn giá trị $\frac{2\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{10}+5\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{10}+5\sqrt{2}}{2}-5\sqrt{2}\right)(2\sqrt{10})(\sqrt{10})}}{2\sqrt{10}+\sqrt{10}}$

Nếu bạn nhập trực tiếp giá trị trên hoặc các giá trị tương tự vào máy tính CASIO thì có thể không thu được kết quả chính xác (kết quả hiển thị dưới dạng căn thức) mà sẽ thu được kết quả gần đúng (kết quả hiển thị dưới dạng thập phân).

Ngoài ra, việc nhập trực tiếp như thế rất dễ sai sót.

Vậy nên giải pháp hữu hiệu nhất là gán từng giá trị thành phần vào các biến nhớ, rồi tính gián tiếp thông qua các biến nhớ..

Bước 1. Lần lượt gán các giá trị $5\sqrt{2}, 2\sqrt{10}, \sqrt{10}, \frac{5\sqrt{2}+ 2\sqrt{10}+\sqrt{10}}{2}$ vào các biến nhớ A, B, C, E

Bước 1.1. Lần lượt nhấn các phím  để gán $5\sqrt{2}$ vào biến nhớ A

Bước 1.2. Lần lượt nhấn các phím  để gán $2\sqrt{10}$ vào biến nhớ B

Bước 1.3. Lần lượt nhấn các phím  để gán $\sqrt{10}$ vào biến nhớ C

Bước 1.4. Lần lượt nhấn các phím để gán $\frac{5\sqrt{2}+ 2\sqrt{10}+\sqrt{10}}{2}$ vào biến nhớ E

Bước 2. Lần lượt nhấn các phím    để nhập giá trị $\frac{2\sqrt{E(E-A)BC}}{B+C}$ vào máy tính

Bước 3. Nhấn phím = để xem kết quả

IV. Lời kết

Tổng kết lại một chút !

Trong thực hành, khi được yêu cầu tính độ dài các đường phân giác trong tam giác thì chúng ta nên áp dụng Cách 1 nếu bài toán là bài toán giải tích.

Áp dụng Cách 2 nếu bài toàn là bài toán sơ cấp (thường người ta sẽ cho sẵn độ dài ba cạnh hoặc độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen giữa). Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo nhé ^^!

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn