Cách viết phương trình đường phân giác đơn giản nhất

Đường phân giác là một trong những thẳng đồng quy trong tam giác thường gặp nhất.

Nếu như trong hình học sơ cấp chúng ta thường khảo sát các tính chất của nó thì trong hình học giải tích chúng ta thường phải tìm nó, nói chính xác hơn là viết phương trình đường phân giác !

Hôm nay mình sẽ hướng dẫn các bạn cách viết phương trình đường phân giác và hướng dẫn thêm cách kiểm tra phương trình vừa viết có chính xác hay không. Okay, bắt đầu thôi nào…

#1. Các bước viết phương trình đường phân giác

Cho tam giác $ABC$ có điểm $A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c)$. Viết phương trình các đường phân giác của tam giác $ABC$

Để tiết kiệm thời gian hơn thì ở đây mình chỉ hướng dẫn các bạn cách viết phương trình đường phân giác của $\hat{A}$

Bước 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A, B$

Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A, B$ là $(AB): A_1x+B_1y+C_1=0$

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A, C$

Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A, C$ là $(AC): A_2x+B_2y+C_2=0$

Xem thêm:
Cách viết phương trình đường thẳng trên mặt phẳng

Bước 3. Lúc này, phương trình đường phân giác của $\hat{A}$ có dạng:

$\frac{ A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\pm\frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$

Vậy phương trình đường phân giác cần tìm là:

$\frac{ A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}-\frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}=0$ và $\frac{ A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}+\frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}=0$

#2. Cách phân biệt đường phân giác góc trong và đường phân giác góc ngoài

Giả sử chúng ta đã viết được hai phương trình đường phân giác của $\hat{A}$ là $(d): Ax+By+C=0$ và $(d’): A’x+B’y+C’=0$

Đặt $f(x,y)=Ax+By+C$

Lần lượt thay tọa độ của $B(x_b, y_b)$ và $C(x_c, y_c)$ vào biểu thức $f(x,y)$

• Nếu $f(x_b, y_b).f(x_c,y_c)<0$ thì $(d)$ là đường phân giác góc trong
• Nếu $f(x_b, y_b).f(x_c,y_c)>0$ thì $(d’)$ là đường phân giác góc trong

#3. Bài tập ví dụ

Cho tam giác $ABC$ biết $A(4, 4), B=(1,3), C(6,-2)$. Viết phương trình đường phân giác góc trong của $\hat{A}$

Lời giải:

Dễ thấy $\overrightarrow{AB}=(-3, -1)$

Phương trình đường $(AB)$ đi qua điểm $A$ và nhận véc tơ $\overrightarrow{AB}=(-3, -1)$ làm véc tơ chỉ phương là $\left\{\begin{array}{l}x=4-3t\\y=4-t\end{array}\right.$

Vậy suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng $(AB)=x-3y+8=0$

Dễ thấy, $\overrightarrow{AC}=(2, -6)$

Phương trình đường $(AC)$ đi qua điểm $A$ và nhận véc tơ $\overrightarrow{AC}=(2, -6)$ làm véc tơ chỉ phương là $\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\y=4-6t\end{array}\right.$

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng $(AC)=3x+y-16=0$

Suy ra phương trình đường phân giác của $\hat{A}$ có dạng $\frac{x-3y+8}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\pm\frac{3x+y-16}{\sqrt{3^2+1^2}}$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x-3y+8=3x+y-16\\x-3y+8=-3x-y+16\end{array}\right.$

$(*) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-2x-4y+24=0\\4x-2y-8=0\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường phân giác của $\hat{A}$ là $-2x-4y+24=0$ và $4x-2y-8=0$

Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra xem phương trình nào là phương trình đường phân giác góc trong

Đặt $f(x,y):-2x-4y+24$

$f(1,3)=10$

$f(6,-2)=20$

Suy ra $f(1,3)f(6,-2)=200>0$

Suy ra $4x-2y-8=0$ là phương trình đường phân giác góc trong

Vậy phương trình đường phân giác cần tìm là $4x-2y-8=0$

#4. Sử dụng phần mềm GeoGebra để kiểm tra kết quả

Phần mềm GeoGebra (hỗ trợ vẽ hình – hình học động) cho phép chúng ta kiểm tra một phương trình đường thẳng bất kỳ có phải là phương trình đường phân giác của một góc nào đó hay không.

Bước 1. Chọn công cụ  rồi dựng các điểm A, B, C

Bước 2. Chọn công cụ Angle Bisector

Bước 3. Chọn điểm B => chọn điểm A => chọn điểm C

Bước 4. Nháy chuột phải vào f:0.89x-0.45y-1.79=0 => chọn Equation y=mx+b

Chú ý:
f:0.89x-0.45y-1.79=0 đối với phương trình khác sẽ có giá trị khác các bạn nhé

Bước 5. Ngay khi chọn vào Equation y=mx+b chúng ta sẽ thu được phương trình đường phân giác

Xem thêm video về thao tác thực hiện:

#5. Lời kết

Các kiến thức được trình bày trong bài viết này là tiền đề để bạn có thể xác định được tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, viết được phương trình đường tròn nội tiếp tam giác, tính độ độ dài các đường phân giác, …

Vậy nên, dù có muốn hay không thì các bạn cũng hãy cố gắng viết được phương trình được phân giác nha các bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn