Cách viết phương trình đường trung tuyến

Tiếp nối mạch kiến thức về đường trung tuyến, hôm nay mình sẽ hướng dẫn các bạn cách viết phương trình đường trung tuyến trong tam giác.

Trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này mình chỉ hướng dẫn các bạn hai phương pháp, đó là:

• Phương pháp 1. Sử dụng kiến thức Toán học
• Phương pháp 2. Sử dụng máy tính CASIO

#1. Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến trong tam giác là một đường thẳng đi qua đỉnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện.

Vậy suy ra, phương trình đường trung tuyến là một phương trình đường thẳng nên chắc chắn có dạng $Ax+By+C=0$

#2. Đường thẳng xác định khi nào?

Trong hình học giải tích, một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm đi qua và một véc tơ chỉ phương HOẶC một điểm đi qua và một véc tơ pháp tuyến HOẶC hai điểm đi qua.

Ở đây chúng ta sẽ quan tâm đến trường hợp biết hai điểm đi qua.

Theo định nghĩa đường trung tuyến, hai điểm đi qua dễ thấy nhất là đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện. Tóm lại, nếu bạn tìm được tọa độ trung điểm cạnh đối diện sẽ viết được phương trình đường trung tuyến.

#3. Cách viết phương trình đường trung tuyến

Cho tam giác $ABC$ có $A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c)$, viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác $ABC$

• Gọi $A’(\frac{x_b+x_c}{2}, \frac{y_b+y_c}{2})$ là trung điểm của $BC$
• Gọi $B’(\frac{x_c+x_a}{2}, \frac{y_c+y_a}{2})$ là trung điểm của $CA$
• Gọi $C’(\frac{x_a+x_b}{2}, \frac{y_a+y_b}{2})$ là trung điểm của $AB$

Lúc này phương trình ba đường trung tuyến $(AA’), (BB’), (CC’)$ sẽ lần lượt là:

$(AA’):\frac{x-x_a}{\frac{x_b+x_c}{2}-x_a}=\frac{y-y_a}{\frac{y_b+y_c}{2}-y_a}$

$(BB’):\frac{x-x_b}{\frac{x_c+x_a}{2}-x_b}=\frac{y-y_b}{\frac{y_c+y_a}{2}-y_b}$

$(CC’):\frac{x-x_c}{\frac{x_a+x_b}{2}-x_c}=\frac{y-y_c}{\frac{y_a+y_b}{2}-y_c}$

Chú ý:

• Ở đây mình đã sử dụng công thức viết nhanh đường thẳng đi qua hai điểm. Cách này sẽ không khả dụng nếu véc tơ chỉ phương có hoành độ hoặc trung độ bằng $0$
• Giải pháp là chuyển về việc viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có một véc tơ chỉ phương.

Xem thêm:
Cách viết phương trình đường thẳng trên mặt phẳng

#4. Bài tập ví dụ 

Cho tam giác $ABC$ có $A(4,4), B(3,2), C(7,2)$, viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác $ABC$

Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA, AB$

Lúc bấy giờ tọa độ các điểm $A’, B’, C’$ lần lượt là:

• $A’\left(\frac{3+7}{2}, \frac{2+2}{2}\right)=\left(5, 2\right)$
• $B’\left(\frac{7+4}{2}, \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{13}{2}, 3\right)$
• $C’\left(\frac{4+3}{2}, \frac{4+2}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, 3\right)$

Phương trình đường trung tuyến $AA’$ có dạng $\frac{x-4}{5-4}=\frac{y-4}{2-4} \Leftrightarrow \frac{x-4}{1}=\frac{y-4}{-2} \Leftrightarrow 2x+y-12=0$

Phương trình đường trung tuyến $BB’$ có dạng $\frac{x-3}{\frac{13}{2}-3}=\frac{y-2}{3-2} \Leftrightarrow \frac{x-3}{\frac{7}{2}}=\frac{y-2}{1} \Leftrightarrow -2x+5y-4=0$

Phương trình đường trung tuyến $CC’$ có dạng $\frac{x-7}{\frac{7}{2}-7}=\frac{y-2}{3-2} \Leftrightarrow \frac{x-7}{-\frac{7}{2}}=\frac{y-2}{1} \Leftrightarrow -2x-7y+28=0$

Vậy phương trình các đường trung tuyến của tam giác $ABC$ là $2x+y-12=0$, $-2x+5y-4=0$, $-2x-7y+28=0$

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

#5. Thủ thuật viết nhanh phương trình đường trung tuyến bằng máy tính CASIO

Giả sử phương trình đường trung tuyến cần tìm có dạng $y=ax+b$ và tọa độ của hai điểm đi qua là $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$

Lúc này $a, b$ là nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}y_1=ax_1+b\\y_2=ax_2+b\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}ax_1+b=y_1\\ax_2+b=y_2\end{array}\right.$

Cho tam giác $ABC$ có $A(4,4), B(3,2), C(7,2)$, viết phương trình đường trung tuyến $AA’$ $(A’$ là trung điểm $BC)$ của tam giác $ABC$

Bước 1. Lần lượt nhấn các phím  để chọn hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 2. Lần lượt nhấn các phím  để nhập các hệ số của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}4a+b=4\\5a+b=2\end{array}\right.$ vào máy tính CASIO

Bước 3. Nhấn phím => nhấn phím

Vậy phương trình đường trung tuyến cần tìm là $y=-2x+12 \Leftrightarrow -2x-y+12=0 \Leftrightarrow 2x+y-12=0$

Chú ý:

• Vì máy tính cho phép thực hiện các phép tính khi nhập hệ số nên bạn có thể tính trực tiếp tọa độ của $A’$ khi nhập.
• Nếu phương trình đường thẳng cần tìm trùng hoặc song song với trục tung thì phương pháp này không khả dụng.

#6. Lời kết

Okay, đó là cách viết phương trình đường trung tuyến mà mình muốn chia sẻ với các bạn !

Trong thực hành nếu gặp trường hợp:

• Hoành độ hoặc trung độ của véc tơ chỉ phương bằng $0$
• Phương trình đường thẳng cần tìm song song hoặc trùng với trục tung

… thì bạn hãy sử dụng kiến thức viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và một véc tơ chỉ phương để giải quyết nhé.

Viết bằng cách trên tuy chậm hơn một chút nhưng phương trình đường thẳng có dạng nào cũng viết được. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn