3 cách xét dấu nhị thức bậc nhất thường sử dụng nhất

Xin chào tất cả các bạn, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách xét dấu nhị thức bậc nhất.

Việc xét dấu nhị thức là việc làm rất thường gặp khi giải toán, đặc biệt là khi giải các dạng toán như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình, hệ bất phương trình, …

Vâng, à trong bài viết ngày hôm nay mình sẽ trình bày với các bạn 3 cách xét dấu nhị thức bậc nhất đơn giản nhất, tùy thuộc vào thói quen, bài toán cụ thể mà các bạn hãy cân nhắc lựa chọn sao cho phù hợp ha.

I. Nhị thức bậc nhất là gì?

Nhị thức bậc nhất đối với $x$ là biểu thức có dạng $f(x)=ax+b$ với $a \in R^*, b \in R$

Một cách nôm na ta có thể hiểu: Nhị thức bậc nhất là đa thức có hai số hạng.

Ví dụ: $f(x)=2x+3, g(x)=5x-7$ là những nhị thức bậc nhất.

II. Cách xét dấu nhị thức bậc nhất

Okay, bây giờ chúng ta sẽ đến với từng phần, nhìn thì dài vậy thôi chứ kiến thức gói gọn lại khá là ít và dễ nhớ.

#1. Bảng xét dấu của nhị thức

Nhị thức $f(x)=ax+b$ với điều kiện $a \neq 0$ luôn có duy nhất một nghiệm là $\frac{-b}{a}$ nên bảng xét dấu luôn tồn tại.

Khi cần xét dấu nhị thức bạn hãy trình bày tương tự Bảng 1 bên dưới, việc trình bày theo bảng này vừa chính xác, vừa dễ hiểu.

Giá trị $\frac{-b}{a}$ được gọi là nghiệm của nhị thức.

#2. Các bước xét dấu nhị thức

• Bước 1. Tìm nghiệm của nhị thức $f(x)=ax+b$, nôm na là giải phương trình $f(x)=0$
• Bước 2. Lập bảng xét dấu tương tự Bảng 1.
• Bước 3. Tiến hành xét dấu bằng một trong ba cách bên dưới.

#3. Ba cách xét dấu nhị thức bậc nhất thường dùng nhất

Cách 1. Sử dụng Định lý

Nhị thức $f(x)=ax+b$ có giá trị …

• Cùng dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy các giá trị trong khoảng $\left(\frac{-b}{a},+\infty\right)$
• Trái dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy các giá trị trong khoảng $\left(-\infty,\frac{-b}{a}\right)$

Cách 2. Sử dụng mẹo

Mình thì hay sử dụng mẹo nhớ là: “khoảng cuối cùng dấu với hệ số $a$ qua nghiệm đổi dấu”

Đây là mẹo nhớ của mình, tùy vào cách tư duy và thói quen mà sẽ có những mẹo nhớ khác. Tuy nhiên, tất cả đều có chung một ý nghĩa và đều được suy ra từ định lý trên.

Cách 3. Sử dụng giá trị đại diện

• Lấy một giá trị $x_0$ bất kì thuộc khoảng $\left(-\infty, \frac{-b}{a}\right)$
• Tính giá trị $f(x_0)$
• Nếu $f(x_0)>0$ thì $+$ ngược lại thì $–$

Thực hiện tương tự để xét dấu f(x) khi x thuộc khoảng $\left(\frac{-b}{a}, + \infty\right)$

#4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét dấu nhị thức $f(x)=2x+3$

Cách 1: Sử dụng Định lý

Vì $a=2$ nên $a$ mang “dấu cộng”

• Khoảng $\left(-\infty, \frac{-3}{2} \right)$ sẽ trái dấu với $a$ tức mang “dấu trừ”
• Khoảng $\left(\frac{-3}{2}, +\infty \right)$ sẽ cùng dấu với $a$ tức mang “dấu cộng”

Cách 2: Sử dụng mẹo nhớ “khoảng cuối cùng dấu với hệ số $a$ qua nghiệm đổi dấu”

Vì $a=2$ nên $a$ mang “dấu cộng”

Khoảng cuối tức khoảng $\left(\frac{-3}{2}, +\infty \right)$ cùng dấu với $a$ tức mang “dấu cộng” qua nghiệm $\frac{-3}{2}$ đổi dấu tức mang “dấu trừ”

Cách 3: Sử dụng giá trị đại diện

• Lấy $x_0=-9$ thuộc khoảng $\left(-\infty, \frac{-3}{2}\right)$, ta có $f(-9)=2.(-9)+3=-15<0$ nên khoảng vừa xét mang “dấu trừ”
• Lấy $x_0=9$ thuộc khoảng $\left(\frac{-3}{2}, +\infty\right)$, ta có $f(9)=2.9+3=21>0$ nên khoảng vừa xét mang “dấu cộng”

Lời giải:

$f(x)=2x+3$ có duy nhất một nghiệm là $\frac{-3}{2}$ và hệ số $a=2>0$

Ta có bảng xét dấu của f(x):

Vậy:

• $f(x)>0$ khi $x \in \left(\frac{-3}{2}, +\infty\right)$
• $f(x)<0$ khi $x \in \left(-\infty, \frac{-3}{2}\right)$
• $f(x)=0$ khi $x=\frac{-3}{2}$

Ví dụ 2. Xét dấu nhị thức $g(x)=-5x+7$

Lời giải:

$g(x)=-5x+7$ có duy nhất một nghiệm là $\frac{7}{5}$ và hệ số $a=-5<0$

Ta có bảng xét dấu của g(x) như sau:

Vậy:

• $g(x)>0$ khi $x \in \left(-\infty, \frac{7}{5}\right)$
• $g(x)<0$ khi $x \in \left(\frac{7}{5}, +\infty\right)$
• $g(x)=0$ khi $x=\frac{7}{5}$

III. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất

Trường hợp #1: f(x) là một tích của các nhị thức bậc nhất

• Đầu tiên chúng ta áp dụng Cách 1 hoặc Cách 2 hoặc Cách 3 hoặc … để xét dấu từng nhân tử.
• Tiếp theo, lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức có trong f(x)
• Cuối cùng ta suy ra được dấu của f(x)

Trường hợp #2: f(x) là một thương của các nhị thức bậc nhất

Thực hiện tương tự Trường hợp 1

Ví dụ 3. Xét dấu $f(x)=\frac{(2x+3)(-5x+7)}{-11x-13}$

Lời giải:

f(x) không xác định khi $x=-\frac{13}{11}$

Các nhị thức $2x+3, -5x+7, -11x-13$ có các nghiệm lần lượt là $-\frac{3}{2}, \frac{7}{5}, -\frac{13}{11}$

Các nghiệm được viết theo thứ tự tăng dần là $-\frac{3}{2}, -\frac{13}{11}, \frac{7}{5}$

Các nghiệm này chia khoảng $(-\infty, +\infty)$ thành bốn khoảng là $\left(-\infty, -\frac{3}{2}\right); \left(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{11}\right); \left(-\frac{13}{11}, \frac{7}{5}\right); \left(\frac{7}{5}, +\infty\right)$

Bảng xét dấu $f(x)=\frac{(2x+3)(-5x+7)}{-11x-13}$

Chú ý: Kí hiệu || đọc là không xác định

Vậy:

• $f(x)>0$ khi $x \in \left(-\frac{-3}{2}; -\frac{13}{11}\right) \cup \left(\frac{7}{5}; +\infty\right)$
• $f(x)<0$ khi $x \in \left(-\infty; -\frac{3}{2}\right) \cup \left(-\frac{13}{11}; \frac{7}{5}\right)$
• $f(x)=0$ khi $x=-\frac{3}{2}$ hoặc $x=\frac{7}{5}$
• $f(x)$ không xác định khi $x=-\frac{13}{11}$

IV. Lời kết

Okay, như vậy là qua bài viết này thì mình tin là bạn đã hiểu được nhị thức bậc nhất là gì rồi, và mình tin là bạn cũng biết cách xét dấu nhị thức bậc nhất để áp dụng cho việc giải bài tập rồi phải không nào.

Việc xét dấu nhị thức bậc nhất hay đa thức bậc nhất là một trong những đa thức quan trọng nhất !

Thật vậy, trong hầu hết các trường hợp khi cần xét dấu của tam thức bậc hai/ đa thức bậc hai, đa thức bậc ba, đa thức bậc bốn, … chúng ta đều có thể quy về việc xét dấu nhị thức bậc nhất..

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com