Cách giải mọi phương trình bậc bốn một ẩn (cách tổng quát)

Để tiếp nối mạch kiến thức về phương trình đa thức thì ở bài viết hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách giải mọi phương trình bậc bốn nha các bạn.

Việc giải phương trình bậc bốn sẽ quy về việc giải phương trình bậc ba và phương trình bậc hai. Vậy nên, nếu bạn quên hoặc chưa biết cách giải hai loại phương trình trên thì nên xem lại trước đã nhé.

Cách giải các phương trình bậc bốn (dạng đặc biệt) thì mình đã chia sẻ với các bạn trong bài viết trước rồi, vậy nên mình sẽ không nhắc lại thêm nữa nhé.

#1. Phương trình bậc bốn một ẩn là gì?

Phương trình bậc bốn một ẩn có dạng tổng quát $a’x^4+b’x^3+c’x^2+d’x+e’=0$ $(a’ \neq 0)$, với $a’, b’, c’, d’, e’$ là những số thực cho trước.

Khi chia hai vế của phương trình cho $a’$ ta được phương trình $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ $(*)$ tương đương với phương trình đã cho.

Các nhà Toán học đã chứng minh được mọi phương trình bậc bốn tổng quát đều có thể đưa về phương trình $(*)$

Vậy nên trong bài viết này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách giải phương trình $(*)$ để tránh quá rườm rà khi trình bày lời giải.

#2. Tam thức bậc hai có dạng bình phương đủ khi và chỉ khi

Tam thức bậc hai $ax^2+bx+c$ đưa được về dạng bình phương đủ khi và chỉ khi $b^2-4ac=0$

#3. Mệnh đề tương đương có liên quan

$f(x)^2=g(x)^2 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x)=g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right.$

#4. Các bước giải phương trình bậc bốn

Giải phương trình bậc bốn $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ $(1)$

Bước 1. Chuyển ba hạn tử cuối cùng sang vế phải ta được phương trình $x^4+ax^3=-bx^2-cx-d$ $(2)$

Bước 2. Cộng $\frac{a^2x^2}{4}$ vào cả hai vế của phương trình $(2)$ ta được phương trình $x^4+ax^3+\frac{a^2x^2}{4}=-bx^2-cx-d+\frac{a^2x^2}{4}$ $(3)$

$(3) \Leftrightarrow \left(x^2+\frac{ax}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2}{4}-b\right)x^2-cx-d$ $(4)$

Bước 3. Cộng $\left(x^2+\frac{ax}{2}\right)y+\frac{y^2}{4}$ vào hai vế của phương trình $(4)$ ta được phương trình $\left(x^2+\frac{ax}{2}\right)^2+\left(x^2+\frac{ax}{2}\right)y+\frac{y^2}{4}=\left(\frac{a^2}{4}-b\right)x^2-cx-d+\left(x^2+\frac{ax}{2}\right)y+\frac{y^2}{4}$ $(5)$

$(5) \Leftrightarrow \left(x^2+\frac{ax}{2}+\frac{y}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2}{4}-b+y\right)x^2+\left(\frac{ay}{2}-c\right)x+\frac{y^2}{4}-d$ $(6)$

Chú ý: Chữ $y$ trong phương trình $(6)$ là một ẩn mới.

Bước 4. Ở đây chúng ta cần chọn $y$ sao cho vế phải là một chính phương, nói cách khác là ta cần phải triệt tiêu biệt số của tam thức bậc hai đối với $x$ ở vế phải $\left(\frac{ay}{2}-c\right)^2-4\left(\frac{a^2}{4}-b+y\right)\left(\frac{y^2}{4}-d\right)=0$ $(7)$

$(7) \Leftrightarrow y^3-by^2+(ac-4d)y-[d(a^2-4b)+c^2]=0$ $(8)$

Phương trình $(8)$ là một phương trình bậc ba nên chắc chắn có thể giải được.

Giả sử $y_0$ là một nghiệm của phương trình $(8)$, thay $y_0$ vào phương trình $(6)$ ta được phương trình $\left(x^2+\frac{ax}{2}+\frac{y_0}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2}{4}-b+y_0\right)x^2+\left(\frac{ay_0}{2}-c\right)x+\frac{y_0^2}{4}-d$ hay $\left(x^2+\frac{ax}{2}+\frac{y_0}{2}\right)^2=(\alpha x+\beta)^2$ $(9)$

Bước 5. Phương trình $(9) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2+\frac{ax}{2}+\frac{y_0}{2}=\alpha x+\beta \\ x^2+\frac{ax}{2}+\frac{y_0}{2}=-\alpha x-\beta\end{array}\right.$

Bước 6. Giải phương trình $x^2+\frac{ax}{2}+\frac{y_0}{2}=\alpha x+\beta$ và phương trình $x^2+\frac{ax}{2}+\frac{y_0}{2}=-\alpha x-\beta$

Bước 7. Kết luận tập nghiệm của phương trình đã cho.

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

#5. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^4-3x^3+3x^2-3x+2=0$ $(1)$

Cách 1. Giải bằng công thức nghiệm tổng quát

Chuyển ba hạng tử cuối cùng của phương trình $(1)$ sang vế phải ta được phương trình $x^4-3x^3=-3x^2+3x-2$ $(2)$

Cộng $\frac{9x^2}{4}$ vào hai vế của phương trình $(2)$ ta được phương trình $x^4-3x^3+\frac{9x^2}{4}=-3x^2+3x-2+\frac{9x^2}{4}$ $(3)$

$(3) \Leftrightarrow \left(x^2-\frac{3x}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}x^2+3x-2$ $(4)$

Cộng $\left(x^2-\frac{3x}{2}\right)y+\frac{y^2}{4}$ vào hai vế của phương trình $(4)$ ta được phương trình $\left(x^2-\frac{3x}{2}\right)^2+\left(x^2-\frac{3x}{2}\right)y+\frac{y^2}{4}=-\frac{3}{4}x^2+3x-2+\left(x^2-\frac{3x}{2}\right)y+\frac{y^2}{4}$ $(5)$

$(5) \Leftrightarrow \left(x^2-\frac{3x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2=x^2\left(y-\frac{3}{4}\right)+3x\left(1-\frac{y}{2}\right)+\frac{y^2}{4}-2$ $(6)$

Xét phương trình bậc ba $[3\left(1-\frac{y}{2}\right)]^2-4\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{y^2}{4}-2\right)=0 \Leftrightarrow -y^3+3y^2-y+3=0$

Dễ thấy $y=3$ là một nghiệm của phương trình $-y^3+3y^2-y+3=0$

Thay $y=3$ vào phương trình $(6)$ ta được phương trình $\left(x^2-\frac{3x}{2}+\frac{3}{2}\right)^2=x^2\left(3-\frac{3}{4}\right)+3x\left(1-\frac{3}{2}\right)+\frac{3^2}{4}-2$ $(7)$

$(7) \Leftrightarrow \left(x^2-\frac{3x}{2}+\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-\frac{3x}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2} \\ x^2-\frac{3x}{2}+\frac{3}{2}=-\frac{3x}{2}+\frac{1}{2}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-3x+2=0 \\ x^2+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=2\end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l}x=i \\ x=-i\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\{1, 2, i, -i\}$

Cách 2. Giải bằng cách nhẩm nghiệm nguyên

Phương trình đã cho nếu có nghiệm nguyên thì chỉ có thể là một trong các ước của $2$

Các ước của $2$ là $\pm 1, \pm2$

Dễ thấy $1, 2$ là nghiệm của phương trình đã cho từ đó ta có sự phân tích $x^4-3x^3+3x^2-3x+2=(x-1)(x-2)(x^2+1)$

Suy ra $x^4-3x^3+3x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x^2+1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x-1=0 \\ x-2=0 \\ x^2+1=0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=2 \\ \left[\begin{array}{l}x=i \\ x=-i\end{array}\right. \end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\{1, 2, i, -i\}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^4-2\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2=0$

Nhận xét:

• Phương trình trên không có điểm gì đặc biệt, suy ra bạn không thể sử dụng hệ quả của định lý Vi ét, cũng không thể nhẩm nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ được.
• Cách tối ưu nhất để giải phương trình này là sử công thức nghiệm tổng quát.

Phần lời giải dành cho các bạn vì hoàn toàn tương tự như Ví dụ 1

…

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\{\sqrt{2}, i, -i\}$

#6. Lời kết

Vâng, tương tự như cách giải tổng quát của phương trình bậc ba, cách giải tổng quát của phương trình bậc bốn cũng chỉ nên áp dụng khi phương trình bậc bốn không thể giải được bằng các cách đặc biệt

Tùy thuộc vào cách tư duy của từng người mà cách giải phương trình bậc bốn có thể khác nhau về mặt hình thức, tuy nhiên về bản chất thì vẫn giống nhau.

Mình cần nói trước như vậy để các bạn khỏi thắc mắc khi tham khảo các tài liệu khác 🙂 Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo nhé !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn