Định lý Viet của phương trình bậc hai và phương trình bậc ba

Vào khoảng đầu thế kỉ thứ XVII thì nhà Toán học tài ba người Pháp François Viète đã tìm ra mối liên hệ giữa các nghiệm với các hệ số của phương trình bậc hai.

Cái mà ngày nay chúng ta vẫn gọi là định lý / hệ thức Viet (Vi-Ét)!

Tên gọi này là hoàn toàn phù hợp vì nó vừa chuyên nghiệp vừa ghi nhớ công lao của người đã tìm ra nó. Và ở trong bài viết ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau phát biểu lại định lý Viet và tìm hiểu thêm một số ứng dụng thường gặp của định lý này nhé !

I. Định lý Viet của phương trình bậc hai

Nếu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ thì $\left\{\begin{array}{ll}x_1+x_2&=\frac{-b}{a} \\ x_1x_2&=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

II. Định lý Viet (Vi-Ét) của phương trình bậc ba

Nếu $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình bậc ba $ax^3+bx^2+cx+d=0$ thì $\left\{\begin{array}{ll}x_1+x_2+x_3&=\frac{-b}{a} \\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3&=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3&=\frac{-d}{a}\end{array}\right.$

III. Định lý Viet đúng với …

IV. Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet

Định lý Viet của phương trình bậc ba và các bậc cao hơn thì chúng ta sẽ ít gặp hơn, đơn giản là vì chúng ít được ứng dụng trong chương trình Toán học Trung học.

Vậy nên ở bài viết này mình chỉ tập trung hướng dẫn cho định lý Viet của phương trình bậc hai thôi nha các bạn.

Định lý Viet của phương trình bậc hai có rất nhiều ứng dụng trong việc giải bài tập, dưới đây là một số ứng dụng tiêu biểu:

• Nhẩm nghiệm của phương trình.
• Tìm hai số khi biết tổng và tích.
• Tính giá trị biểu thức (biểu thức có thể biểu diễn thành đa thức đối xứng).
• Giải hệ phương trình đối xứng.
• Xét dấu của các nghiệm.

#1. Nhẩm nghiệm của phương trình

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^2+2x-3=0$

Lời giải:

Vì phương trình bậc hai đã cho có $1+2+(-3)=0$ nên $x_1=\frac{1}{1}=1, x_2=\frac{-3}{1}=-3$

Vậy phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm phân biệt là $1, -3$

Nhận xét: Ngoài phương pháp sử dụng hệ quả của định lý Viet thì chúng ta còn rất nhiều phương pháp để giải phương trình bậc hai này (tính $\Delta$, tính $\Delta’$, đồ thị, …). Tuy nhiên phương pháp trên là tối ưu nhất !

#2. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Cho hai số thức $a, b$ bất kỳ, nếu $a+b=S$ và $ab=P$ thì $a, b$ là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2-Sx+P=0$

Ví dụ 2. Tìm hai số thực $a, b$ biết tổng của chúng bằng $2$ và tích của chúng bằng $-3$

Lời giải:

Theo giả thuyết ta có $a+b=2$ và $ab=-3$, lúc bấy giờ $a, b$ là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2-2x-3=0 \Leftrightarrow x_1=3, x_2=-1$

Vậy hai số $a, b$ cần tìm lần lượt là $3, -1$ hoặc $-1, 3$

Nhận xét: Phương trình bậc hai $x^2-2x-3=0$ có thể giải nhanh bằng phương pháp nhẩm nghiệm $1-(-2)+(-3)=0$ tương tự như Ví dụ 1

#3. Tính giá trị biểu thức (biểu thức có thể biểu diễn thành đa thức đối xứng)

Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức $x_1^2+x^2$ biết $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $7x^2+11x-13=0$

Thông thường khi đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức mà giá trị đó lại được tính thông qua nghiệm của phương trình thì chúng ta không nên giải phương trình  vì nghiệm thường rất xấu.

Thay vào đó chúng ta nên có gắng biến đổi biểu thức đã cho thành các đa thức đối xứng rồi sử dụng định lý Viet.

Lời giải:

Cách 1. Sử dụng định lý Viet

Dễ thấy $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

Mặc khác $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình bậc hai $7x^2+11x-13=0$ nên ta có hệ thức $\left\{\begin{array}{ll}x_1+x_2&=\frac{-11}{7}\\x_1x_2&=\frac{-13}{7}\end{array}\right.$

Suy ra $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\frac{-11}{7}\right)^2-2\left(\frac{-13}{7}\right)=\frac{303}{49}$

Vậy => giá trị của biểu thức đã cho là $\frac{303}{49}$

Cách 2. Sử dụng máy tính CASIO

Tuy nghiệm của phương trình đã cho rất xấu nhưng với sự hỗ trợ của máy tính CASIO fx-580VN X thì chúng ta vẫn có thể tính được dễ dàng.

Chú ý: Cách này chỉ sử dụng để kiểm tra kết quả thôi nha các bạn !

Bước 1. Chọn phương thức tính toán Equation / Func

Bước 2. Chọn Polynomial

Bước 3. Chọn bậc của phương trình. Vì cần giải phương trình bậc hai nên mình sẽ ấn phím số 2

Bước 4. Lần lượt nhập các hệ số của phương trình …

Bước 5. Nhấn phím = => nhấn phím STO => nhấn phím $(-)$

Bước 6. Nhấn phím = => nhấn phím STO => nhấn phím ${}^o~’~”$

Bước 7. Chọn phương thức tính toán Calculate

Bước 8. Nhập biểu thức $A^2+B^2$ => nhấn phím =

Chú ý: Nếu nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm phức thì ở Bước 7 chúng ta phải chọn phương thức tính toán Complex

#4. Giải hệ phương trình đối xứng

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}x^2+y^2&=4\\x^3+y^3&=8\end{array}\right.$

Lời giải:

$\left\{\begin{array}{ll}x^2+y^2&=4\\x^3+y^3&=8\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}(x+y)^2-2xy&=4\\(x+y)^3-3xy(x+y)&=8\end{array}\right.$

Đặt $x+y=S, xy=P$ ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}S^2-2P&=4\\S^3-3PS&=8\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}P&=-2+\frac{1}{2}S^2\\S^3-3\left(-2+\frac{1}{2}S\right)S&=8\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình trên ta được hai nghiệm là $(-4, 6)$ và $(2, 0)$

Trường hợp 1 $x+y=-4, xy=6$

$x, y$ là nghiệm của phương trình $X^2+4X+6=0 \Leftrightarrow X^2+4X+6=(X+2)^2+2=0$

Như vậy => phương trình $X^2+4X+6=0$ vô nghiệm !

Trường hợp 2 $x+y=2, xy=0$

$x, y$ là nghiệm của phương trình $X^2-4X=0 \Leftrightarrow X(X-4)=0$

Suy ra phương trình $X^2-4X=0$ có hai nghiệm là $0, 2$

Vậy => nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(0,2)$ và $(2,0)$

Nhận xét:

• Nếu bạn có thể vẽ được hai phương trình này lên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy thì hãy sử dụng phương pháp đồ thị.
• Với Ví dụ 4 Phương pháp đồ thị cũng là một lựa chọn tối ưu.

Quan sát đồ thị chúng ta dễ dàng nhận thấy chúng có hai giao điểm, tạo độ của hai giao điểm này chính là nghiệm của phương trình đã cho.

V. Lời kết

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc phát biểu lại định lý Viet, cũng như việc áp dụng định lý Viet vào giải một số dạng toán thường gặp rồi ha,

Với những kiến thức nền tảng mà mình vừa được cung cấp/ ôn lại bên trên thì bây giờ các bạn đã có thể tự tin, tự tìm hiểu, tự nghiên cứu những mảng kiến thức cao hơn rồi đấy. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

• Định lý Pytago thuận, định lý Pytago đảo và bài tập ví dụ !
• Áp dụng định lý tổng ba góc của một tam giác để giải bài tập
• Định lý Talet trong tam giác, hệ quả định lý Talet và VÍ DỤ

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com