Cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối nha các bạn.

Việc giải bất phương trình này cũng tương tự như việc giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối vậy !

Chúng ta cũng phải dựa vào định nghĩa để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, rồi bắt đầu giải như những bất phương trình đa thức, phân thức thông thường.

#1. Các bước giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

#2. Cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1. Giải bất phương trình $2x+|3x+5|>0$

Lời giải:

Đầu tiên chúng ta phải xét hai trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Trường hợp 1. Nếu $3x+5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{5}{3}$ bất phương trình đã cho trở thành $2x+(3x+5)>0$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow 5x+5 > 0 \Leftrightarrow x > -1$

Suy ra tập nghiệm của $(*)$ là $(-1, +\infty)$

Giao với điều kiện $x \geq -\frac{5}{3}$ suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong Trường hợp 1 là $(-1, +\infty)$

Trường hợp 2. Nếu $3x+5 < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{5}{3}$ bất phương trình đã cho trở thành $2x+(-3x-5)$ $(**)$

$(**) \Leftrightarrow -x-5 > 0 \Leftrightarrow x< -5$

=> tập nghiệm của $(**)$ là $(-\infty, -5)$

Giao với điều kiện $x < -\frac{5}{3}$ suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong Trường hợp 2 là $(-\infty, -5)$

Hợp tập nghiệm của Trường hợp 1 với Trường hợp 2 chúng ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho $(-\infty,-5) \cup (-1, +\infty)$

Ví dụ 2. Giải bất phương trình $2x^2+3x+|5x+7| \geq 0$

Lời giải:

Đầu tiên chúng ta phải xét hai trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Trường hợp 1. Nếu $5x+7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{7}{5}$ bất phương trình đã cho trở thành $2x^2+3x+(5x+7) \geq 0$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow 2x^2+8x+7 \geq 0$

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

Đặt $f(x)=2x^2+8x+7$

Bảng xét dấu $f(x)$

Suy ra tập nghiệm của $(*)$ là $\left(-\infty, -2-\frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[-2+\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)$

Giao với điều kiện $x \geq -\frac{7}{5}$ suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong Trường hợp 1 là $\left[-2+\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)$

Trường hợp 2. Nếu $5x+7 < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{7}{5}$ bất phương trình đã cho trở thành $2x^2+3x+(-5x-7) \geq 0$ $(**)$

$(**) \Leftrightarrow 2x^2-2x-7 \geq 0$

Đặt $g(x)=2x^2-2x-7$

Bảng xét dấu $g(x)$

Suy ra tập nghiệm của $(**)$ là $\left(-\infty, -\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2}, +\infty\right)$

Giao với điều kiện $x < -\frac{7}{5}$ suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong Trường hợp 2 là $\left(-\infty, -\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{1}{2}\right]$

Hợp tập nghiệm của Trường hợp 1 với Trường hợp 2 chúng ta sẽ được tập nghiệm của bất phương trình đã cho:

$\left(-\infty, -\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{1}{2}\right] \cup \left[-2+\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)$

#3. Bài tập tự luyện

Bài tập 1. Giải bất phương trình $|2 x-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-x|>3 x-2$

Đáp án $(-\infty, 1)$

Bài tập 2. Giải bất phương trình $|(\sqrt{2}-\sqrt{3}) x+1| \leq \sqrt{3}+\sqrt{2}$

Đáp án $\left[\frac{-1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}, \frac{-1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\right]$

Bài tập 3. Giải bất phương trình $\left|-x^2+x-1\right| \leq 2 x+5$

Đáp án $[-1, 4]$

Bài tập 4. Giải bất phương trình $\left|x^2-x\right| \leq\left|x^2-1\right|$

Đáp án $\left[-\frac{1}{2}, \infty\right)$

#4. Lời kết

Việc giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối tuy không khó nhưng nếu không cẩn thận sẽ rất dễ dẫn đến những sai sót không đáng có.

Để tránh sai sót không đáng có các bạn cần chú ý:

• Phép giao được thực hiện khi tìm tập nghiệm của bất phương trình trong từng trường hợp.
• Phép hợp được thực hiện khi tìm tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
• Không bỏ sót nghiệm khi dấu của bất phương trình là dấu lớn hơn hoặc bằng (hoặc nhỏ hơn hoặc bằng).

Ngoài ra bạn cũng nên xem lại cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn, bất phương trình bậc hai một ẩn, cách tìm giao và hợp của hai tập hợp số…

Hi vọng những kiến thức trong bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn