Công thức của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Xin chào tất cả các bạn !

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các khái niệm cơ bản về dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn, cấp số cộng và cấp số nhân nhé.

Việc nắm vững các kiến thức này sẽ giúp bạn học tốt giới hạn và các kiến thức Giải tích cổ điển có liên quan.

#1. Dãy số là gì?

Một hàm số $u:$ $\begin{array}{l}N^* \rightarrow R \\ n \rightarrow u(n) \end{array}$ được gọi là một dãy số vô hạn

Ký hiệu của dãy số vô hạn là $(u_n)$

Lúc này $u_n=u(n)$ được gọi là số hạng tổng quát của dãy $(u_n)$

Một hàm số $u$ xác định trên tập hợp $m$ số nguyên dương đầu tiên được gọi là dãy số hữu hạn:

• Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1}-u_n > 0$ với mọi $n$ tự nhiên khác $0$
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1}-u_n < 0$ với mọi $n$ tự nhiên khác $0$
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số $M$ sao cho $u_n \leq M$ với mọi $n$ tự nhiên khác $0$
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số $m$ sao cho $u_n \geq m$ với mọi $n$ tự nhiên khác $0$

#2. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt.

2.1. Định nghĩa về cấp số cộng

Một dãy số $(u_n)$ được gọi là cấp số cộng nếu $u_{n+1}=u_n+d$ với mọi $n$ tự nhiên khác $0$ và $d$ là hằng số.

2.2. Một số khái niệm có liên quan

Cho cấp số cộng $(u_n)$

Lúc này chúng ta có …

• Số hạng tổng quát của cấp số cộng $u_n$ sẽ bằng $u_1+(n-1)d$
• Công sai $d$ sẽ bằng $u_2-u_1$ hoặc sẽ bằng $u_n-u_{n-1}$
• Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng thường được ký hiệu là $S_n$ và được tính theo công thức $u_1+u_2+ \cdots + u_n$

2.3. Tính chất của cấp số cộng

• $u_n=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$
• Tổng của $n$ số hạng đầu tiên còn được tính theo công thức $\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)$ hoặc $\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)$

2.4. Hệ quả của cấp số cộng

Bản chất của các hệ quả này là công thức tổng quát của các cấp số cộng thường gặp trong chương trình Toán học Trung học.

• Tổng của $n$ số tự nhiên đầu tiên khác $0$ là $1+2+3 + \cdots + n$ và công thức tổng quát là $\frac{n(n+1)}{2}$
• Tổng của $n$ số tự nhiên lẻ đầu tiên khác $0$ là $1+3+5 + \cdots + (2n-1)$ và công thức tổng quát là $n^2$
• Tổng của $n$ số tự nhiên chẵn đầu tiên khác $0$ là $2+4+6 + \cdots + 2n$ và công thức tổng quát là $n(n+1)$

#3. Cấp số nhân

Tương tự như cấp số cộng, cấp số nhân cũng là một dãy số đặc biệt.

3.1. Định nghĩa về cấp số nhân

Dãy số $(u_n)$ được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi $u_{n+1}=u_nq$ với mọi số tự nhiên $n$ khác $0$

3.2. Một số khái niệm có liên quan

Cho cấp số nhân $(u_n)$

Lúc này chúng ta có:

• Số hạng tổng quát của cấp số nhân $u_n$ sẽ bằng $u_1q^{n-1}$ với mọi $n$ lớn hơn hoặc bằng $1$
• Công bội $q$ sẽ bằng $\frac{u_2}{u_1}$ hoặc $\frac{u_n}{u_{n-1}}$

3.3. Tính chất của cấp số nhân

$u_n^2=u_{n-1}u_{n+1}$ với mọi $n$ lớn hơn hoặc bằng $2$

Tổng $S_n$ của $n$ số hạng đầu tiên $u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_n$ được tính theo công thức $\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}$ với $q$ khác $1$

Tổng $S_n$ của $n$ số hạng đầu tiên $u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_n$ của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức $\frac{u_1}{1-q}$ với $|q|$ nhỏ hơn $1$

#4. Lời kết

Cấp số cộng và cấp số nhân là những dãy số đặc biệt, thường gặp trong các bài kiểm tra và thi cử.

Vì vậy, bằng cách này hay cách khác các bạn hãy cố gắng học thuộc các công thức được trình bày trong bài viết này các bạn nha.

Ngoài ra, bạn cũng có thể sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx 880 BTG để hỗ trợ trong quá trình giải.

Cụ thể có bạn có thể:

• Sử dụng tính năng Spreadsheet hỗ trợ viết nhanh các số hạng đầu tiên của dãy số

• Sử dụng tính năng Summation hỗ trợ tính tổng khi biết số hạng tổng quát

• Sử dụng tính năng Spreadsheet hỗ trợ tính tổng khi biết công thức truy hồi

• Sử dụng tính năng Product hỗ trợ tính tổng khi biết số hạng tổng quát

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

• Tập hợp là gì? tập hợp con là gì? Hai tập hợp bằng nhau?
• Hàm số liên tục là gì? Cách chứng minh hàm số liên tục

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn