Định nghĩa, định lý đường trung bình của tam giác / hình thang

Xin chào tất cả các bạn, trong bài viết này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu kỹ hơn về định nghĩa đường trung bình của tam giácđường trung bình của hình thang nhé.

Sau khi nắm được định nghĩa thì chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về định lý và kết thúc bằng ba ví dụ minh họa để các bạn nhớ được lâu hơn.

I. Đường trung bình của tam giác

#1. Định nghĩa

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Như hình bên dưới thì: DE là đường trung bình của tam giác ABC vì D và E lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC

Chú ý: Trong một tam giác bất kỳ luôn có ba đường trung bình.

dinh-nghia-dinh-ly-duong-trung-binh-cua-tam-giac-hinh-thang (1)

#2. Định lý

Định lý 1.
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

dinh-nghia-dinh-ly-duong-trung-binh-cua-tam-giac-hinh-thang (2)

Giả thuyết $\triangle ABC, AD=DB, DE \parallel BC$
Kết luận $AE=EC$

Bạn có thể chứng minh Định lí 1 bằng cách vẽ một đường thẳng đi qua điểm E và song song với cạnh AB, lúc bấy giờ đường thẳng vừa kẻ sẽ cắt BC ở F

Định lý 2.
Đường trung bình của tam giác sẽ song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một phần hai độ dài cạnh ấy.

dinh-nghia-dinh-ly-duong-trung-binh-cua-tam-giac-hinh-thang (3)

Giả thuyết $\triangle ABC, AD=DB, AE=EC$
Kết luận $DE \parallel BC, DE=\frac{1}{2}BC$

Bạn có thể chứng minh Định lí 2 bằng cách vẽ thêm một điểm F sao cho E là trung điểm của DF tức DE = EF

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có $AD=DB, DE \parallel BC$ và $DE=1.5~cm$. Tính độ dài cạnh $BC$

dinh-nghia-dinh-ly-duong-trung-binh-cua-tam-giac-hinh-thang (4)

Lời giải:

Vì $AD=DB$ và $DE \parallel BC$ nên $E$ là trung điểm của cạnh $AC$

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác $ABC$

Theo giả thuyết chúng ta có $DE=1.5~cm$

Áp dụng Định lí 2 ta được $DE=\frac{1}{2}BC \Leftrightarrow BC=2.DE=2 \times 1.5=3~cm$

Vậy => độ dài cạnh $BC$ bằng $3~cm$

Ví dụ 2. Tính khoảng cách AB giữa hai chân của Compa. Biết C, D lần lượt là trung điểm của OA, OB và $CD=3~cm$

dinh-nghia-dinh-ly-duong-trung-binh-cua-tam-giac-hinh-thang (5)

Lời giải:

Vì C, D là trung điểm của AO, BO nên CD là đường trung bình của tam giác AOB

Mặc khác ta có $CD=3~cm$

Áp dụng Định lí 2 ta được $CD=\frac{1}{2}AB \Leftrightarrow AB=2.CD=2.3=6~cm$

Vậy => khoảng cách giữa hai chân của Compa bằng 6 cm

II. Đường trung bình của hình thang

#1. Định nghĩa

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên của hình thang.

Như hình bên dưới thì: EF là đường trung bình của hình thang ABCD vì E và F lần lượt là trung điểm của cạnh AD và BC

Chú ý: Trong một hình thang bất kì chỉ có duy nhất một đường trung bình.

dinh-nghia-dinh-ly-duong-trung-binh-cua-tam-giac-hinh-thang (6)

 

#2. Định lý

Định lý 3.
Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh bên thứ nhất của hình thang và song song với hai cạnh đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ 2.

dinh-nghia-dinh-ly-duong-trung-binh-cua-tam-giac-hinh-thang (7)

Giả thuyết $ABCD$ là hình thang $(AB \parallel CD)$

$AE=ED, EF \parallel AB, EF \parallel CD$

Kết luận $BF=FC$

Bạn có thể chứng minh Định lí 3 bằng cách vẽ thêm một điểm I sao cho I là giao điểm của AC và EF

Định lý 4.
Đường trung bình của hình thang sẽ song song với hai cạnh đáy và có độ dài bằng tổng của nửa độ dài cạnh đáy thứ nhất, nửa độ dài cạnh đáy thứ nhì.

dinh-nghia-dinh-ly-duong-trung-binh-cua-tam-giac-hinh-thang (8)

Giả thuyết $ABCD$ là hình thang $(AB \parallel CD)$

$AE=ED, BF=FC$

Kết luận $EF \parallel AB, EF \parallel DC, EF=\frac{AB+DC}{2}$

Bạn có thể chứng minh Định lí 4 bằng cách vẽ thêm một điểm K sao cho K là giao điểm của AF và DC

Ví dụ 3. Cho tứ giác $ABCD$ có $AB=BC, AF=24, BE=32, \hat{F}=\hat{E}=\hat{D}=90^o$

Tính độ dài cạnh DC.

dinh-nghia-dinh-ly-duong-trung-binh-cua-tam-giac-hinh-thang (9)

Lời giải:

Theo giả thuyết ta có $FA \bot FD$ và $DC \bot EF$ suy ra $FA \parallel DC$

Vậy tứ giác $ACDF$ là hình thang

Cũng theo giả thuyết ta có $AB=BC$ suy ra $B$ là trung điểm $AC$

Mặc khác ta lại có $EB \bot FD$ suy ra $EB \parallel FA$ và $EB \parallel DC$

Vậy $EB$ là đường trung bình của hình thang $ACDF$

Áp dụng Định lí 4 ta được $EB=\frac{FA+DC}{2} \Leftrightarrow DC=2EB-FA=2.32-24=40$

Vậy => độ dài cạnh đáy DC bằng 40 ĐVĐD

III. Lời kết

Đọc đến đây thì mình tin là các bạn đã có thể phát biểu được định nghĩa, định lý và vận dụng giải được một số bài toán cơ bản về đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang rồi phải không nào?!

Xa hơn thì bạn có thể vận dụng định lý tính khoảng cách giữa hai địa điểm hoặc hai vật thể (cây, nhà, cột, …) bị ngăn cách bởi chướng ngại vật nào đó (sông, hồ, …). Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo ha !

Đọc thêm:

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

Bài viết đạt: 5/5 sao - (Có 1 lượt đánh giá)
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !

Administrator: Kiên Nguyễn

Có một câu nói của người Nhật mà mình rất thích đó là " Người khác làm được thì mình cũng làm được ". Chính vì thế mà hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn ! Nếu như bạn đang gặp khó khăn và cần sự trợ giúp thì hãy comment phía bên dưới mỗi bài viết để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng Blog Chia Sẻ Kiến Thức nhé.

Một vài lưu ý trước khi comment :

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *
Tất cả các comment của các bạn sẽ được giải đáp trong vòng 48h !
Không được sử dụng từ khóa trong ô 'Name', bạn hãy dùng tên thật hoặc Nickname của bạn !
Không dẫn link sang trang web/blog khác. Xem quy định comment tại đây. Thank All!

Leave a Reply

Your email address will not be published.