Hướng dẫn giải các phương trình lượng giác cơ bản

Xin chào tất cả các bạn !

Trong những bài viết trước chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu về cách giải phương trình đa thức (bậc nhất, bậc hai, bậc ba, …), cách giải phân thức (chứa ẩn ở mẫu) và cách giải phương trình vô tỉ (căn thức)… rồi.

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách giải một lớp phương trình mới khác, cũng có nhiều ứng dụng trong Toán học và trong thực tiễn.

Vâng, lớp phương trình mới vừa được mình nhắc đến chính là phương trình lượng giác !

I. Giải phương trình lượng giác đặc biệt

Các phương trình lượng giác đặc biệt này đều có vế trái là một hàm số lượng giác ($\sin x$ hoặc $\cos x$ hoặc $\tan x$ hoặc $\cot x$) và phải bằng $0$ hoặc bằng $1$ hoặc bằng $-1$

Đối với hàm $\sin x$

• $\sin x=0 \Leftrightarrow x=k \pi$
• $\sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi$
• $\sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi$

Đối với hàm $\cos x$

• $\cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi$
• $\cos x=1 \Leftrightarrow x=k 2 \pi$
• $\cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi$

Đối với hàm $\tan x$

• $\tan x=0 \Leftrightarrow x=k \pi$
• $\tan x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi$
• $\tan x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi$

Đối với hàm $\cot x$

• $\cot x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi$
• $\cot x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi$
• $\cot x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi$

II. Giải phương trình lượng giác cơ bản

Các phương trình có một trong các dạng $\sin x=m$, $\cos x=m$, $\tan x=m$ và $\cot x=m$ với $x$ là ẩn số và $m$ là một số thực cho trước được gọi là các phương trình lượng giác cơ bản.

#1. Phương trình sin x=a

• Nếu $|a|>1$ thì phương trình $\sin x=a$ vô nghiệm
• Nếu $|a| \leq 1$

Gọi $\sin \alpha=a$

Lúc bấy giờ, chúng ta có $\sin x=a \Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\alpha+k 2 \pi \\ x=\pi-\alpha+k 2 \pi  \end{array}\right.$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ.

Chú ý:

• Khi $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ và $\sin \alpha=a$ thì ta viết $\alpha=\arcsin a$
• Phương trình $\sin x=\sin \beta^{\circ}$ có các nghiệm $\left[\begin{array}{l} x=\beta^{\circ}+k 360^{\circ} \\ x=180^{\circ}-\beta^{\circ}+k 360^{\circ} \end{array}\right.$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ

#2. Phương trình cos x=a

• Nếu $|a|>1$ thì phương trình $\cos x=a$ vô nghiệm
• Nếu $|a| \leq 1$

Gọi $\cos \alpha=a$

Lúc bấy giờ chúng ta có $\cos x=a \Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \\  \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ.

Chú ý:

• Khi $0 \leq \alpha \leq \pi$ và $\cos \alpha=a$ thì chúng ta viết $\alpha=\arccos a$
• Phương trình $\cos x=\cos \beta^{\circ}$ có các nghiệm $x=\pm \beta^{\circ}+k 360^{\circ}$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ.

#3. Phương trình tan x=a

Điều kiện xác định của phương trình $\tan x=a$ là $x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ.

Với $a$ là một số thực bất kỳ.

Gọi $\tan \alpha=a$

Lúc bấy giờ chúng ta có $\tan x=a \Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ

Chú ý:

• Khi $-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$ và $\tan \alpha=a$ thì chúng ta viết $\alpha=\arctan a$
• Phương trình $\tan x=\tan \beta^{\circ}$ có tập nghiệm $x=\beta^{\circ}+k 180^{\circ}$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ

#4. Phương trình cot x=a

Điều kiện xác định của phương trình $\cot x=a$ là $x \neq k \pi$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ

Với $a$ là một số thực bất kỳ

Gọi $\cot \alpha=a$

Lúc bấy giờ chúng ta có $\cot x=a \Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi$ với $k$ là một số nguyên bất kỳ.

Chú ý:

• Khi $0<\alpha<\pi$ và $\cot \alpha=a$ thì chúng ta viết $\alpha=$ arccot a
• Phương trình $\cot x=\cot \beta^{\circ}$ có các nghiệm $x=\beta^{\circ}+k 180^{\circ}$ với với $k$ là một số nguyên bất kỳ.

III. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình lượng giác có dạng $a \sin x+b \cos x=c$ với $a, b, c$ là những số cho trước và $a$ khác $0$ hoặc $b$ khác $0$

Phương trình lượng giác có dạng vừa trình bày được gọi là phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$ chúng ta được $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Lúc bấy giờ phương trình $a \sin x+b \cos x=c$ trở thành $\sin (x+a)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Với $\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ và  $\sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

IV. Sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ việc giải phương trình lượng giác

Tính năng Solve của máy tính cầm tay CASIO nói riêng hay các dòng máy tính cầm tay khác nói chung có thể giải được mọi phương trình ngoại trừ phương trình lượng giác.

Nguyên nhân chủ yếu là vì phương trình lượng giác nếu có nghiệm sẽ có vô số nghiệm.

Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ quá trình giải phương trình lượng giác.

Cụ thể thì:

• Bạn hãy sử dụng các phím $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ để tìm các độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó.
• Kết hợp với các công thức nghiệm vừa được trình bày sẽ tìm được tập nghiệm của phương trình.

V. Giải phương trình lượng giác bằng dịch vụ trực tuyến Wolfram Alpha

Dịch vụ trực tuyến Wolfram Alpha ngoài tính được nguyên hàm của một hàm số bất kỳ còn có rất nhiều tính năng như:

• Cộng, trừ, nhân, chia đa thức
• Tính đạo hàm của một hàm số bất kỳ
• Giải phương trình bất kỳ…

Hôm nay, mình sẽ hướng dẫn các bạn giải phương trình lượng giác bằng dịch vụ trực tuyến Wolfram Alpha

Việc làm này tuy không có giá trị trong phòng thi nhưng vẫn có giá trị trong quá trình học tập của bạn.

Giả sử mình cần giải phương trình $\sqrt{3} \sin x-\cos x=1$ thì thực hiện tuần tự theo các bước bên dưới:

Bước 1. Truy cập vào Wolfram Alpha bằng cách nháy chuột vào địa chỉ https://www.wolframalpha.com/

Bước 2. Nhập solve sqrt(3)*sin(x)-cos(x)=1

Bước 3. Nhấp phím Enter trên bàn phím của máy vi tính

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi$ hoặc $x=\pi+k 2 \pi$

VI. Lời kết

Ngoài các phương trình lượng giác vừa được trình bày ở bên trên ra thì các bạn nên tìm hiểu thêm về các phương trình lượng giác được liệt kê bên dưới nữa nhé:

• Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
• Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
• Phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn