Cách tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, rất dễ (2024)

Hôm nay, mình sẽ hướng dẫn các bạn cách tìm các đường tiệm cận (ngang, đứng, xiên) của đồ thị hàm số.

Để tìm được các đường tiệm cận một cách chính xác và nhanh chóng nhất thì ngoài các kiến thức được trình bày bên dưới ra, các bạn cũng nên xem lại cách tìm giới hạn của hàm số ha.

I. Đường tiệm cận ngang là gì?

Đường thẳng $y=y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=y_0$ hoặc $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=y_0$

Ví dụ 1. Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{5x+7}$

Lời giải:

Dễ thấy, tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{7}{5}\right\}$

Vì $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2x+3}{5x+7}=\frac{2}{5}$ và $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2x+3}{5x+7}=\frac{2}{5}$

Vậy nên, đường thẳng $y=\frac{2}{5}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho khi $x \rightarrow+\infty$ và khi $x \rightarrow-\infty$

II. Đường tiệm cận đứng là gì?

Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu…

$\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=+\infty$ hoặc $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=+\infty$ hoặc $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=-\infty$ hoặc $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=-\infty$

Ví dụ 2. Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{5x+7}$

Lời giải:

Tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{7}{5}\right\}$

Vì $\lim _{x \rightarrow-\frac{7}{5}^{+}} \frac{2x+3}{5x+7}=+\infty$ và $\lim _{x \rightarrow-\frac{7}{5}^{-}} \frac{2x+3}{5x+7}=-\infty$ ..

Vậy nên, đường thẳng $x=-\frac{7}{5}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho khi $x \rightarrow -\frac{7}{5}^{+}$ và khi $x \rightarrow -\frac{7}{5}^{-}$

III. Đường tiệm cận xiên là gì?

Sách giáo khoa “cơ bản” của Chương trình Giáo dục Phổ thông 2018 đã trình bày đường tiệm cận xiên nên mình nghĩ việc tìm hiểu khái niệm và cách xác định đường tiệm cận xiên là một việc làm cần thiết.

#1. Như thế nào được gọi là đường tiệm cận xiên?

Đường thẳng $y=a x+b$ với $a \neq 0$ được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu…

$\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(a x+b)]=0$ hoặc $\lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-(a x+b)]=0$

Ví dụ 3. Chứng minh đường thẳng $y=x$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)=\frac{x^2+5x+6}{x+5}$

Lời giải:

Casio FX 580 VNX [Mua trên Shopee] [Mua trên Tiki]	CASIO FX 880 BTG [Mua trên Shopee] [Mua trên Lazada]

Đồ thị hàm số $\frac{x^2+5x+6}{x+5}$ có đường tiệm cận xiên khi $x \rightarrow+\infty$ và khi $x \rightarrow-\infty$ là đường thẳng $y=x$ vì…

$\lim _{x \rightarrow+\infty}[\frac{x^2+5x+6}{x+5}-x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6}{x+5}=0$

Và:

$\lim _{x \rightarrow-\infty}[\frac{x^2+5x+6}{x+5}-x]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{6}{x+5}=0$

#2. Cách xác định các hệ số $a, b$ của đường tiệm cận xiên

Để xác định các hệ số $a, b$ trong phương trình của đường tiệm cận xiên chúng ta có thể áp dụng các công thức được liệt kê bên dưới.

$a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$, $b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]$ hoặc $a=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}$, $b=\lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-a x]$

Ví dụ 4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)=\frac{x^2+5x+6}{x+1}$

Lời giải:

$a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$

$a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2+5x+6}{x\left(x+1\right)}$

$a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2+5x+6}{x^2+x}$

=> $a=1$

$b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-x]$

$b=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^2+5x+6}{x+1}-x\right)$

$b=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4x+6}{x+1}$

=> $b=4$

Vậy đường thẳng $y=x+4$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho khi $x \rightarrow+\infty$

Mặt khác, chúng ta cũng có $a=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=1$, $b=\lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=4$

Vậy nên đường thẳng $y=x+4$ cũng là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho khi $x \rightarrow-\infty$

IV. Lời kết

Okay, như vậy là mình vừa hướng dẫn bạn cách tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số rồi nhé.

Vì đồ thị hàm số không bao giờ cắt các đường tiệm cận nên việc tìm các đường tiệm cận ngoài thực hiện theo yêu cầu của bài toán còn giúp chúng ta vẽ chính xác đồ thị của hàm số.

Hi vọng là những thông tin trong bài hướng dẫn này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

• Cách khảo sát hàm số bậc ba và hàm trùng phương
• Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai (trên giấy và trên máy tính)
• Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất (trên giấy & trên máy tính)
• Tìm tập xác định, đạo hàm, đồ thị.. của hàm số (lũy thừa, mũ và lôgarit)

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn