Cách giải bất phương trình tích (có ví dụ dễ hiểu)

Tương tự bất phương trình bậc nhất một ẩn và bất phương trình bậc hai một ẩn thì bất phương trình tích cũng là một trong những bất phương trình thường gặp trong chương trình Toán học Trung học.

Cách đơn giản nhất để giải bất phương trình tích là xét dấu vế trái, dựa vào bảng xét dấu và dấu của bất phương trình để kết luận tập nghiệm.

#1. Bất phương trình tích là gì?

Bất phương trình có dạng hoặc có thể biến đổi đưa về dạng $P(x)>0$, $P(x) \geq 0$, $P(x) \leq 0$, $P(x)<0$ (với $P(x)$ là tích của những đa thức một biến) được gọi là bất phương trình tích.

$(x-2)(x+3)(x-5)>0$ hoặc $(-x^2+5x-6)(-x^2+12x-35) \geq 0$ là những bất phương trình tích

Trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này chúng ta chỉ xét $P(x)$ là tích của những nhị thức, tam thức thôi nha các bạn.

Với các đa thức một biến bậc cao hơn thì sẽ biến đổi sơ cấp đưa về tích của những nhị thức, tam thức chứ không xét trực tiếp.

#2. Các giải bất phương trình tích

#3. Bài tập giải bất phương trình tích

Ví dụ 1. Giải bất phương trình $(x-2)(x+3)(x-5)>0$

Lời giải:

Đặt $P(x)=(x-2)(x+3)(x-5)$

Cho $P(x)=0$ và giải phương trình $(x-2)(x+3)(x-5)=0$ chúng ta được các nghiệm là $2$ hoặc $-3$ hoặc $5$

Sắp xếp ba nghiệm tìm được của $x$ theo thứ tự tăng dần là $-3, 2, 5$

Dễ thấy, ba nghiệm này chia trục số thực thành bốn khoảng là $(-\infty, 3)$, $(-3, 2)$, $(2, 5)$, $(5, +\infty)$

Lúc này chúng ta sẽ xác định dấu của $P(x)$ trên từng khoảng vừa liệt kê bằng cách lập bảng xét dấu

Vì dấu của bất phương trình là dấu lớn nên những khoảng làm cho $P(x)$ nhận giá trị dương chính là tập nghiệm của bất phương trình tích đã cho.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình tích đã cho là $(-3, 2) \cup (5, +\infty)$.

Cách lập bảng xét dấu [phần này dành riêng cho những bạn chưa biết hoặc quên]

• Hàng trên cùng ghi lại bốn khoảng được xét của trục số.
• Ba hàng tiếp theo thì dựa vào định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ghi dấu của các nhân tử bậc nhất trên mỗi khoảng.
• Hàng cuối ghi dấu của $P(x)$ trên mỗi khoảng bằng cách lấy “tích” của các dấu cùng cột ở ba hàng trên.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình tích $(-x^2+5x-6)(-x^2+12x-35) \geq 0$

Lời giải:

Đặt $P(x)=(-x^2+5x-6)(-x^2+12x-35)$

Cho $P(x)=0$ và giải phương trình $(-x^2+5x-6)(-x^2+12x-35)=0$ chúng ta được các nghiệm là $2$ hoặc $3$ hoặc $5$ hoặc $7$

Sắp xếp bốn nghiệm tìm được của $x$ theo thứ tự tăng dần là $2, 3, 5, 7$

Dễ thấy bốn nghiệm này chia trục số thực thành bốn khoảng là $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$, $(3, 5)$, $(5, 7)$, $(7, +\infty)$

Lúc này, chúng ta sẽ xác định dấu của $P(x)$ trên từng khoảng vừa liệt kê bằng cách lập bảng xét dấu.

Vì dấu của bất phương trình là dấu lớn hoặc bằng nên những khoảng làm cho $P(x)$ nhận giá trị dương và giá trị mút của khoảng đó chính là tập nghiệm của bất phương trình tích đã cho

Vậy tập nghiệm của bất phương trình tích đã cho là $(-\infty, 2] \cup [3, 5] \cup [7, \infty)$

Ví dụ 3. Giải bất phương trình $-x^{3}+6 x^{2}-11 x+6<0$

Hướng dẫn cách giải:

+) Cách 1

Chúng ta nhận xét rằng bất phương trình đã cho có vế trái là một đa thức bậc ba nên có thể biến đổi sơ cấp đưa về bất phương trình tích

Đặt $P(x)=-x^{3}+6 x^{2}-11 x+6$

Dễ thấy $P(x)$ có một nghiệm là $1$, lúc bấy giờ nếu chia $P(x)$ cho $(x-1)$ thì chúng ta được $-x^2+5x-6$

Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với $(x-1)(-x^2+5x-6)<0$

+) Cách 2

Đặt $P(x)=-x^{3}+6 x^{2}-11 x+6$

Giải phương trình $P(x)=0$ thu được ba nghiệm đơn là $1, 2, 3$

Xét dấu trực tiếp đa thức bậc ba $P(x)$

+) Cách 3. Sử dụng máy tính cầm tay Casio

Ở đây mình sẽ hướng dẫn các bạn thực hiện trên dòng CASIO FX-580VN X, với các dòng khác các bạn thực hiện tương tự.

Bước 1. Nhấn lần lượt các phím để gọi bất phương trình bậc ba một ẩn với dấu nhỏ hơn.

Bước 2. Nhấn lần lượt các phím để nhập các hệ số của bất phương trình.

Bước 3. Nhấn phím

#4. Lời kết

Vâng, qua bài viết này thì mình tin là bạn sẽ biết cách giải bất phương trình tích rồi đúng không?!

Và cũng thông qua bài viết này chúng ta dễ dàng nhận thấy:

Muốn tìm nhanh chóng và chính xác tập nghiệm của bất phương trình tích thì các bạn cần phải nắm vững cách xét dấu nhị thức, tam thức, cũng như cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn..

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn