Cách khảo sát sự biến thiên của hàm phân thức (có ví dụ)

Hàm số đa thức, hàm số phân thức, hàm vô số tỉ là một trong những hàm số Đại số thường gặp nhất và quan trọng nhất trong Đại số.

Việc khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị của các hàm số trên sẽ mang lại cho chúng ta rất nhiều lợi ích, rất hữu ích trong quá trình giải bài tập.

Cụ thể là:

• Xác định được tính đơn điệu của hàm số (đồng biến, nghịch biến)
• Tìm được tọa độ của điểm uốn
• Xác định được trục đối xứng
• Xác định được tâm đối xứng…

Vâng, và trong bài viết ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức.

#1. Hàm số phân thức là hàm số như thế nào?

Hàm $y=f(x)$ được gọi là hàm số phân thức khi $f(x)$ là một phân thức tức có dạng:

$\frac{a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n}{b_0 x^n+b_1 x^{n-1}+\cdots+b_n}$

#2. Các bước khảo sát sự biến thiên của hàm số phân thức

#3. Bài tập khảo sát sự biến thiên của hàm số

Trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu hàm số phân thức:

• Bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{a x+b}{c x+d}$ với $c \neq 0$ và $a d-b c \neq 0$
• Bậc hai trên bậc nhất $y=\frac{a x^2+b x+c}{a^{\prime} x+b^{\prime}}$ với $a \neq 0$ và $a^{\prime} \neq 0$

Cụ thể như sau:

3.1. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số phân thức $y=\frac{2x+3}{5x+7}$

Lời giải:

Dễ thấy hàm số có tập xác định là $\mathbb{R} \backslash \left\{-\frac{7}{5}\right\}$

+) Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận:

$\lim _{x \rightarrow -\frac{7}{5}^{-}} \frac{2x+3}{5x+7}=-\infty$ và $\lim _{x \rightarrow -\frac{7}{5}^{+}} \frac{2x+3}{5x+7}=+\infty$

Vậy => đường thẳng $x=-\frac{7}{5}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi $x \rightarrow -\frac{7}{5}^{-}$ và khi $x \rightarrow -\frac{7}{5}^{+}$

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2x+3}{5x+7}=\frac{2}{5}$ và $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2x+3}{5x+7} =\frac{2}{5}$

=> Đường thẳng $y=\frac{2}{5}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi $x \rightarrow+\infty$ và khi $x \rightarrow-\infty$

+) Lập bảng biến thiên

$y^{\prime}=\frac{-1}{(5x+7)^2}<0$ với mọi $x \neq -\frac{7}{5}$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ; -\frac{7}{5})$ và $(-\frac{7}{5} ;+\infty)$

+) Đồ thị hàm số

Dễ thấy đồ thị cắt trục tung tại điểm $\left(0 ; \frac{3}{7}\right)$

Cho $y=0$ chúng ta được phương trình $\frac{2x+3}{5x+7}=0$

Giải phương trình $\frac{2x+3}{5x+7}=0$ chúng ta được nghiệm là $-\frac{3}{2}$

Suy đồ thị cắt trục hoành tại điểm $\left(-\frac{3}{2} ; 0\right)$

Ngoài ra thì đồ thị nhận giao điểm $\left(-\frac{7}{5} ; \frac{2}{5}\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

3.2. Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$

Lời giải:

Dễ thấy, hàm số có tập xác định là $\mathbb{R} \backslash\{-1\}$

+) Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^2+2x+2}{x+1}=-\infty$ và $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2+2x+2}{x+1}=+\infty$

=> Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số không tồn tại.

$\lim _{x \rightarrow -1^{-}} \frac{x^2+2x+2}{x+1}=-\infty$ và $\lim _{x \rightarrow -1^{+}} \frac{x^2+2x+2}{x+1}=+\infty$

=> Đường thẳng $x=-1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho khi $x \rightarrow -1^{-}$ và khi $x \rightarrow -1^{+}$

$\lim_{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{x^2+2x+2}{x+1}}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2+2x+2}{x^2+x}=1$

$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^2+2x+2}{x+1}-x\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty}\frac{x+2}{x+1}=1$

=> Đường thẳng $y=x+1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho khi $x \rightarrow+\infty$

$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\frac{x^2+2x+2}{x+1}}{x}=1$

$\lim _{x \rightarrow-\infty}[\frac{x^2+2x+2}{x+1}-x]=1$

=> Đường thẳng $y=x+1$ cũng là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho khi $x \rightarrow-\infty$

+) Bảng biến thiên

$y^{\prime}=\frac{x^2+2 x}{(x+1)^2}$

Cho $y^{\prime}=0$ chúng ta được phương trình $\frac{x^2+2 x}{(x+1)^2}=0$

Giải phương trình $\frac{x^2+2 x}{(x+1)^2}=0$ chúng ta được các nghiệm là $x=0$ hoặc $x=-2$

Hàm số đã cho:

• Đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0 ;+\infty)$
• Nghịch biến trên khoảng $(-2 ;-1)$ và $(-1 ; 0)$
• Đạt cực đại tại điểm $x=-2$ với giá trị cực đại $y(-2)=-2$
• Đạt cực tiểu tại điểm $x=0$ với giá trị cực tiểu $y(0)=2$

+) Đồ thị hàm số

Dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0 ; 2)$

Ngoài ra thì đồ thị nhận giao điểm $I(-1 ; 0)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Xem thêm:
Cách lập bảng biến thiên tự động bằng Geophar

#4. Lời kết

Vâng, như vậy là qua bài viết này mình đã hướng dẫn cho bạn cách khảo sát sự biến thiên của hàm số phân thức rồi nhé.

Để có thể khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức một cách chính xác và nhanh chóng thì ngoài các kiến thức vừa được trình bày ở trên ra, các bạn cũng nên xem lại bài viết:

• Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Cách tìm đường tiệm cận xiên

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn